Анализ временного ряда на стационарность (автокорреляционная функция)

Будем считать ряд стационарным, если его основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия и автоковариации) не зависят от времени.

Одним из основных свойств уровней элементов временного ряда является наличие между ними зависимостей, которые измеряются коэффициентами автоковариации и автокорреляции. Автоковариацией называется ковариация, измеренная для уровней элементов одного и того же временного ряда, отстоящих друг от друга на определённый временной интервал, называемый лагом. Величину автоковариации порядка s (на лаге s) будем обозначать через γ_ts. Определяется она соотношением:

γ_ts = M ((y_t-µ_t)(y_t+s -µ_t+s)),

где М (y_t) = µ_t – математическое ожидание y_t.

При s = 0 получаем дисперсию переменной y _t, т.е.

M ((y_t-µ_t)²) = γ_t0 = σ_t².

Для стационарного временного ряда все эти три характеристики не зависят от времени:

М (y_t) = µ,

M ((y_t-µ)(y_t+s -µ)) = γ_s,(зависит только от величины лага s),

γ₀ = M (y_t-µ)² = σ² < ∞.

Вместо автоковариации иногда удобнее иметь дело с автокорреляцией, определяемой из соотношения

γ_s/γ_0, (s=0,1,2….).

Автокорреляция порядка s определяется как коэффициенты парной корреляции между уровнями элементов одного и того же временного ряда, сдвинутых относительно друг друга на определённый период времени s. Выборочный коэффициент автокорреляции порядка s будем обозначать через r_s, и одна из формул по его вычислению выглядит следующим образом:

.

Введём понятие «белого шума». Это стационарный случайный процесс, имеющий нулевое математическое ожидание, постоянную (конечную, ненулевую) дисперсию и нулевую автоковариацию для любого лага. Нулевая автоковариация на любом лаге означает, что соответствующие наблюдения в этом процессе не коррелированы (отсутствие автокорреляции любого порядка). В качестве примера белого шума можно привести остатки классической регрессионной модели. В случае нормального распределения остатков они образуют гауссовский белый шум.

Автокорреляция как функция целого аргумента s называется автокорреляционной функцией. График автокорреляционной функции называется коррелограммой. Поскольку при вычислении автокорреляций теряется часть информации (при сдвиге приходится убирать несколько первых наблюдений), то обычно принимается, что максимальный порядок автокорреляции может быть не более n/4, где n – длина временного ряда. Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании временных рядов рассматривается также частная автокорреляционная функция, в которой используются частные коэффициенты автокорреляции, т.е. коэффициенты корреляции между членами временного ряда y_t и y_t+s при устранении влияния промежуточных (между y_t и y_t+s) членов.

По виду графиков автокорреляционной функции (ACF) и частной автокорреляционной функции (PACF) можно судить о структуре временного ряда.

Так, для стационарных стохастических временных рядов (если ряд действительно случаен) значения всех коэффициентов автокорреляции не должны выходить за пределы доверительной области нуля. Известно, что если ряд случаен (нет автокорреляции любого порядка), то доверительной областью нуля для него является (при достаточно больших n) интервал 0±2/ .

Вместо тестирования отличия от нуля коэффициентов автокорреляции каждого в отдельности, часто тестируют отличие от нуля сразу несколько таких коэффициентов подряд. Реализовать это можно при помощи Q-статистики Льюнга–Бокса (Ljung G., Box G.E.P.)

,

где n – объём выборки, а p – число одновременно тестируемых коэффициентов автокорреляции. Эта статистика проверяет нулевую гипотезу о том, что все p первых коэффициентов автокорреляции равны нулю, т.е. временной ряд является белым шумом. Если верна проверяемая гипотеза, Q-статистика имеет асимптотическое -распределение (при достаточно большом числе уровней временного ряда). При относительно малых объёмах выборки этот тест может давать не совсем достоверные результаты.

Протестируем по этому тесту на стационарность следующий временной ряд (рисунок 1.1). (Если иного не будет указано, то в дальнейшем графики и все вычисления будут реализованы на основе эконометрического пакета прикладных программ EViews (Econometrics Views)).

Рисунок 1.1 – График тестируемого временного ряда

Построим для него коррелограмму. В результате получим (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Коррелограмма анализируемого ряда

На рисунке 1.2 последовательно изображено: в левой части рисунка помещены вертикальные графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций (вертикальные штриховые линии указывают доверительную область нуля), далее (первый столбик цифр) – порядок автокорреляции (s), затем значения соответствующих коэффициентов автокорреляции (AC) и частной автокорреляции (PAC). Последние два столбика цифр отражают значения Q-статистики и вероятностей, представляющих собой расчётные уровни значимости (Prob) для вычисленных значений Q-статистик. Из графиков и значений расчётных уровней значимости видно, что, по крайней мере, до 10-го порядка включительно, значения коэффициентов автокорреляции равны нулю (не выходят за пределы доверительной области нуля и все расчётные уровни значимости больше 0,05). На основании этого можем сделать вывод, что ряд, изображённый на рисунке 1.2, является стационарным (белым шумом).

Поиск по сайту: