Компоненты временного ряда

Как отмечалось, уровни временного ряда формируются под воздействием множества факторов, действующих в течение различных по протяжённости промежутков времени. Если основные статистические характеристики временного ряда зависят от времени, то такие ряды являются нестационарными.

Систематическую составляющую, действующую в течение длительного промежутка времени и формирующую основную тенденцию изменения уровней элементов временного ряда, называют трендовой составляющей или трендом. В дальнейшем будем обозначать её через T_t.

Регулярные колебания уровней элементов временного ряда, формирующиеся под воздействием систематически повторяющихся причин (обычно в течение года), называют сезонной составляющей. Будем обозначать её через S_t.

Различают также циклическую составляющую, формирующуюся под воздействием долговременно действующих (более года), но нерегулярных факторов, например, экономических циклов. Здесь мы их рассматривать не будем, отнеся к трендовой составляющей.

Удалив из уровней элементов временного рада трендовую и сезонную компоненты, получим случайную составляющую, формирующуюся под воздействием других, в том числе случайных, кратковременно действующих факторов. Будем обозначать её через I_t. Относительно случайной составляющей будем предполагать, что она следует процессу белого шума.

Если составляющие элементов временного ряда объединяются в виде произведения, то получаем мультипликативную модель временного ряда. Если составляющие элементов временного ряда объединяются в виде суммы, то получаем аддитивную модель временного ряда.

Одна из форм математической записи этих моделей следующая:

мультипликативная y_t = T_t· S_t· I_t,

аддитивная y_t = T_t+ S_t+ I_t.

Процесс разложения элементов временного ряда на составляющие называется декомпозицией временного ряда.

Если ряд имеет тренд, то он является нестационарным. В зависимости от принадлежности временного ряда к тому или иному классу различаются методы их анализа и прогнозирования. Прежде чем перейти к их рассмотрению, рассмотрим примеры различных типов временных рядов.

Стационарный временной ряд, имеющий только случайную компоненту, рассмотрен ранее (рисунок 1.1).

Рассмотрим пример нестационарного временного ряда, имеющего линейный тренд с наложенной на него случайной компонентой. Если временной ряд имеет чётко выраженный тренд в виде какой-либо функции от времени, то говорят, что имеем ряд с детерминированным трендом. Такой ряд представлен на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 – График временного ряда с детерминированным

линейным трендом

Построим кореллограмму этого ряда (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Коррелограмма анализируемого ряда

Как видим, коэффициенты автокорреляции выходят за пределы доверительной области нуля, постепенно убывая, что означает, что этот ряд нестационарный, о чём свидетельствуют и уровни значимости Q-статистики.

Рассмотрим график ряда со всеми тремя составляющими – трендовой, сезонной и случайной (рисунок 1.5). Здесь и график ряда, и коррелограмма, построены в другом статистическом пакете (Statgraphics Plus). В нашем случае длина сезонности равна четырём, что и отражено в коррелограмме (рисунок 1.6).

Рисунок 1.5 – Горизонтальный график временного ряда с сезонной составляющей и трендом

Как видим, наибольший коэффициент автокорреляции наблюдается при лаге, равном 4, это и указывает на сезонную составляющую, длина которой равна четырём. Наличие тренда отражено значимым коэффициентом автокорреляции первого порядка.

Рисунок 1.6 – Коррелограмма для временного ряда с сезонной составляющей и трендом

На рисунке 1.6 коррелограмма изображена в виде горизонтального графика, причём здесь показаны только коэффициенты автокорреляции без проверки гипотезы о стационарности ряда.

Из рассмотренного можно сделать вывод, что по виду коррелограммы можно судить о структуре временного ряда. Если ряд имеет детерминированный тренд, то несколько первых коэффициентов автокорреляции значимо отличны от нуля (выходят за пределы доверительной области нуля), а если при этом ещё имеется сезонная составляющая, то на лаге, равном длине сезонности, имеется «всплеск» коэффициента автокорреляции.

В зависимости от принадлежности временного ряда к тому или иному классу различаются методы их анализа и прогнозирования. Прежде чем перейти к их рассмотрению, введём показатели точности прогноза.

Поиск по сайту: