Модели авторегрессии – скользящего среднего

(методология Бокса – Дженкинса)

Рассмотрим общий случай моделей авторегрессии (AR(p)-Auto Regressive) и скользящего среднего (MA(q)-Movin g Average), где p и q – порядок моделей.

Модель авторегрессии порядка р,т.е. AR(p) для ряда может быть записана:

,

а модель скользящего среднего порядка q, т. е. MA(q) имеет следующий вид:

.

Смешанная модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA(p,q))

объединяет обе эти модели в одну:

.

Если ряд нестационарный, но его можно привести к стационарному виду путём взятия разностей, то для таких рядов используется модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (A uto R egressive I ntegrated M ovin g A verage) ARIMA(p,d,q), где d – порядок разности. В этом случае модель ARMA(p,q) строится не для уровней элементов временного ряда, а для их разностей порядка d.

Методология построения модели ARIMA(p,d,q) для исследуемого временного ряда включает следующую последовательность шагов.

Этап 1. Определение модели. Здесь следует выяснить, является ли ряд стационарным. Часто нестационарные ряды можно преобразовать в стационарные путём взятия разности. Тогда исходный ряд заменяется рядом разностей.

После того как будет получен стационарный ряд, необходимо определить общие характеристики модели, которую предполагается использовать.

На этом шаге рекомендуется придерживаться следующих соображений.

Для моделей AR(p) значения коэффициентов автокорреляции экспоненциально затухают (либо монотонно, либо попеременно меняя знак – осцилируя), а значения коэффициентов частной автокорреляции обрываются на лаге р.

Для моделей МА(q)) значения коэффициентов автокорреляции обрываются на лаге р, а значения коэффициентов частной автокорреляции экспоненциально затухают (либо монотонно, либо попеременно меняя знак – осцилируя).

Для моделей ARМА(p.q) значения коэффициентов автокорреляции и значения коэффициентов частной автокорреляции экспоненциально затухают (либо монотонно, либо попеременно меняя знак – осцилируя).

Следует иметь в виду, что эти рекомендации относятся к модельным рядам. Реальные временные ряды ведут себя сложнее и при их идентификации возможны также и другие методы их идентификации (в том числе интуиция и опыт).

Начальный выбор модели должен рассматриваться как пробный. Анализ адекватности выбранной модели выполняется на следующих шагах.

В эконометрической литературе отмечается, что, как правило, в практических расчётах порядок модели (p+q) не превышает трёх, а d – не более двух. Поэтому при выборе типа модели не представляет больших затруднений просто перебрать значения этих параметров в указанных пределах и протестировать полученные модели на точность и адекватность. Точность моделей обычно оценивается на основе традиционных показателей (t -статистики, коэффициент детерминации, стандартная ошибка и т.п.), а адекватность – на основе анализа поведения остатков.

Этап 2. Оценка модели. После того как пробная модель будет выбрана, необходимо выполнить оценку её параметров.

В общем случае эта процедура осуществляется на основе нелинейного метода наименьших квадратов. После завершения процедуры оценивания вычисляются стандартные ошибки оценок, величины t-статистик и определяются значимость оценок обычным образом. Несущественные параметры отбрасываются. Точность модели определяется на основе стандартных показателей, в том числе, на информационных критериях Акаике и Шварца.

Этап 3. Проверка модели на адекватность. Как известно, модель является адекватной, если полученные остатки нельзя использовать для дальнейшего уточнения прогноза. Иначе говоря, остатки должны быть случайными. Для тестирования остатков на случайность обычно используют Q-статистику Льюнга-Бокса. При этом рекомендуется придерживаться принципа экономии, а именно: при равных условиях (при примерно одинаковых по точности моделях) предпочтение отдаётся более простой модели.

Кроме того, при построении модели ARIMA необходимо проверить значимость оценённых коэффициентов по t -критерию. При этом модель не должна содержать лишних параметров, т.е. незначимые слагаемые модели необходимо удалять.

Итак, если в результате проверки несколько моделей оказываются адекватны исходным данным, то при окончательном выборе следует учесть два требования:

– повышение точности модели;

– уменьшение числа параметров модели.

Воедино эти требования сведены в информационных критериях, которые по аналогии с исправленным коэффициентом множественной детерминации «штрафуют» оцениваемую модель за увеличение количества оцениваемых параметров. К таким критерия относятся информационные критерии Акаике и Шварца.

Критерий Акаике (Akaike information criterion – AIC). При использовании этого критерия линейные модели с р объясняемыми переменными, оценёнными по n наблюдениям, сопоставляются по значениям

AIC = ln _p² + 2p/n,

_p² – оценка дисперсии остатков модели.

При увеличении количества оцениваемых параметров первое слагаемое уменьшается, а второе – увеличивается. Среди нескольких альтернативных моделей предпочтение отдаётся модели с наименьшим значением AIC, в которой достигается определённый компромисс между величиной остаточной суммы квадратов и количеством объясняющих переменных.

Критерий Шварца (Schwarz information criterion – SIC или BIC – байесовский информационный критерий). При использовании этого критерия линейные модели с р объясняемыми переменными, оценёнными по n наблюдениям, сопоставляются по значениям

SIC = ln _p² + (lnn)p/n.

И здесь при увеличении количества оцениваемых параметров первое слагаемое уменьшается, а второе – увеличивается. Среди нескольких альтернативных моделей предпочтение отдаётся модели с наименьшим значением AIC.

Как видим, «штраф» в этом критерии больше, чем в предыдущем, поэтому он обычно и используется при выборе среди альтернативных моделей наилучшей.

Позднее для этих целей был предложен критерий Хеннана – Куинна (Hannan – Quinn information criterion – HQC), который аналогичен рассмотренным, но более предпочтителен при больших объёмах выборки.

Важную роль в достижении успеха при построении модели играет личная оценка аналитика. Если две конкурирующие модели адекватно описывают данные, то проблему выбора можно решить только исходя из природы тех данных, для которых делается прогноз.

Этап 4. Прогнозирование на основе выбранной модели. Когда адекватная модель найдена, можно делать прогнозы на один или несколько периодов вперёд. На основе прогнозов строятся также интервалы предсказания. В общем случае, чем больше период прогнозирования, тем шире будет интервал предсказания. Обычно период прогнозирования рекомендуется брать не более трети длины исходного ряда.

Как только станут доступны новые данные наблюдений, ту же модель ARIMA можно применить для модифицированного прогноза, с новым началом отсчёта времени.

Если характер поведения ряда меняется, новые данные могут послужить для переоценки параметров модели или, если в этом есть необходимость, для разработки совершенно новой модели.

Хорошей идеей является постоянный мониторинг ошибки прогнозирования. Если амплитуда ошибок значительно возрастает со временем, то может потребоваться пересмотр используемой модели.

Проиллюстрируем работу рассмотренного метода на примере следующего временного ряда (рисунок 1.28).

Рисунок 1.28 – График анализируемого временного ряда

По графику (рисунок 1.28) видно, что ряд не стационарный, да и коррелограмма показывает (рисунок 1.29), что в уровнях ряда есть тренд (автокорреляции отличны от нуля и постепенно убывают).

Рисунок 1.29 – Коррелограмма анализируемого временного ряда

ADF-тест на единичный корень первых разностей (рисунок 1.30) показывает, что ряд первых разностей стационарный (Prob. =0.00).

Рисунок 1.30 – ADF-тест на единичный корень первых разностей

Будем строить модель для первых разностей. Коррелограмма первых разностей (рисунок 1.31) указывает на модель МА(1), около этой спецификации и будем искать адекватную модель.

Рисунок 1.31 – Коррелограмма первых разностей анализируемого ряда

Применим к рассматриваемому ряду метод Бокса – Дженкинса, перебирая различные варианты моделей авторегрессии – скользящего среднего для первых разностей. Начнём с модели ARIMA(1,1,0).

Спецификацию ARIMA(1,1,0)- модели в EViews можно задать командой

Equation eq1.ls d(x) c ma(1).

Получим следующий отчёт о решении задачи оценивания параметров этой модели (рисунок 1.32).

Рисунок 1.32 – Отчёт о решении задачи оценки параметров модели

На рисунке 1.32 – зависимая переменная D(X), т.е. , а независимые С и МА(1), т.е. оценивается уравнение: = с + α ε_t-1. Получили следующие оценки: с = – 0,01, α = – 0,94 (с округлениями). Т.к. _t = x_t – x_t-1, окончательно имеем x_t = – 0,01 + x_t-1 – 0,94ε_t-1.

Чтобы оценить адекватность модели, проанализируем остатки модели (рисунок 1.33). На этом рисунке показано: исходный график ряда (Actual), график смоделированного ряда (Fitted) и график остатков (Residual).

Рисунок 1.33 – График, характеризующий результаты расчётов по модели

По графику остатков можно сделать вывод, что модель адекватна (график остатков часто пересекает линию нуля и разброс остатков примерно одинаков на протяжении всего рассматриваемого периода), к тому же статистика Дарбина – Уотсона (рисунок 1.32) равна почти двум, что свидетельствует об отсутствии автокорреляции в остатках. Тем не менее протестируем остатки на единичный корень (рисунок 1.34).

Рисунок 1.34 – Тест на единичный корень в остатках модели

Гипотеза о единичном корне отклоняется (Prob. = 0,0), т.е. остатки – стационарный временной ряд.

Рисунок 1.35 – Коррелограмма остатков модели ARIMA(1,1,0)

Коррелограмма остатков модели (рисунок 1.35) показывает, что остатки являются белым шумом. При попытке изменить спецификацию модели (добавление других членов в модель) оказалось, что качество модели не изменилось. Так что в данном случае оценённую модель можно признать адекватной.

Поиск по сайту: