Модель с фиксированными эффектами

Модель с фиксированными эффектами является линейной моделью регрессии, в которой свободные члены изменяются при переходе от одного объекта к другому, т.е.

y_it = α_i + β + ε_it, ε_it НОР(0 , (4.1)

причём предполагается, что все ε_it независимы от всех x_it (это одно из важнейших предположений модели с фиксированными эффектами).

Параметры этой модели можно оценить по-разному. Один из вариантов оценки предполагает записать эту модель с использованием фиктивных переменных для каждого объекта. Тогда модель примет вид

y_it = + β + ε_it,

где = 1, если i = j, и = 0 в противном случае. Параметры этой модели (α₁,…, α_n и β) можно оценивать с помощью обычного МНК. В этом случае оценка вектора неизвестных параметров β называется оценкой метода наименьших квадратов с фиктивными переменными и обозначается (fixed effects). Недостаток подобного метода оценивания заключается в необходимости оценивать большое число параметров (n параметров α_i и k параметров β). Однако этот недостаток можно преодолеть, применив другой метод оценивания. Можно показать, что точно та же самая оценка для вектора β получается, если регрессия строится в отклонениях от индивидуальных средних. Для этого с помощью преобразования данных сначала исключаются индивидуальные эффекты α_i. С этой целью в исходном уравнении все переменные усредняются по времени, в результате чего получаем

= α_i + β + . (4.2)

Вычтем из уравнения (4.1) уравнение (4.2) и получим

= β + (

Получили модель регрессии в отклонениях от индивидуальных средних, которая не включает индивидуальные эффекты α_i. Такое преобразование называется внутригрупповым (внутриобъектным) преобразованием. А оценку для вектора неизвестных параметров β, полученную из этой преобразованной модели, называют внутригрупповой оценкой или оценкой с фиксированными эффектами, и она в точности идентична оценке, полученной по модели с фиктивными переменными.

Если объясняющие переменные не зависят от всех остатков, то индивидуальные эффекты можно оценить из уравнения (4.2):

= - , (i = 1,…,n), (4.3)

где оценивается по модели регрессии в отклонениях от индивидуальных средних.

Следует иметь в виду, что оценивание эффектов по (4.3) (с помощью внутригруппового преобразования) хоть и позволяет получить более эффективные оценки вектора параметров β, но не позволяет определить значимость оценок , как если бы они были получены из модели с фиктивными переменными. Хотя многие исследователи отмечают, что численные значения этих оценок (при больших выборках) мало информативны и в анализе обычно не участвуют. Здесь важно определить, значимо ли они различаются, т.е. есть ли индивидуальные различия? А для этого есть специальные тесты.

По существу, модель с фиксированными эффектами описывает различия между объектами («внутри» объектов). Т.е. объясняет, до какой степени отличается от , но не объясняет, почему отличается от . Интерпретируя результаты для регрессии с фиксированными эффектами необходимо иметь в виду, что параметры идентифицируются только через внутрииндивидуальную (или, что то же, внутригрупповую) размерность данных.

Поскольку модель с фиксированными эффектами – это простая регрессионная модель, оценки параметров можно тестировать с помощью обычных t- и F-тестов. Один из вопросов, который интересует исследователя в отношении параметров модели с фиксированными эффектами: значимо ли различаются эффекты, характерные для отдельных объектов наблюдения, т.е. значимо ли различаются параметры α_i для разных объектов наблюдения? Этот вопрос ещё называют вопросом объединения, поскольку если эффектов, специфических для отдельных объектов, нет, все данные могут быть объединены в одну простую регрессию с единственной константой.

Для ответа на этот вопрос формулируют нулевую гипотезу о том, что α_i = α_j для любых i,j, что соответствует модели с одним и тем же параметром α для всех объектов наблюдения. Такую модель называют объединённой моделью (pooled).

y_it = α + β + ε_it.

Альтернативная гипотеза формулируется так: не все α_i равны, т.е. хотя бы для одной пары i,j α_i α_j, что соответствует модели с фиксированными эффектами. Проверяется эта гипотеза с помощью F-теста (Вальда).

F = ,

где k – размерность вектора β.

Если верна нулевая гипотеза (индивидуальные эффекты не различаются, т.е. мы имеем объединённую модель), и выполняется предпосылка о нормальном распределении остатков, то F-статистика имеет (приближённо) распределение Фишера. Если F-расч. > F-табл., то нулевая гипотеза отклоняется, и мы имеем модель с фиксированными эффектами.

Отметим недостатки модели с фиксированными эффектами. Если оценивать её параметры, используя фиктивные переменные, то ввиду большого числа оцениваемых параметров такие оценки могут быть неэффективными (теряются степени свободы регрессии). Если оценивать её параметры с помощью двухшаговой процедуры, т.е. сначала на основе уравнения в отклонениях от средних оценить вектор параметров β, а затем из уравнения (4.3) индивидуальные эффекты α_i, то в этом случае не будут учитываться факторы, не меняющиеся во времени, поскольку для них отклонения от средних будут равны нулю. Подобного недостатка лишена модель со случайными эффектами.

Поиск по сайту: