Влияние периодичности решетки на электронные состояния. Зонная модель

Модель свободных электронов в потенциальном ящике - модель Зоммерфельда - оказалась полезной для физики металлов. Она позволила объяснить ряд свойств этих материалов. Но реальная картина сложнее. В частности, модель не позволяет понять, почему одни химические элементы в кристаллическом состоянии являются проводниками, а другие - изоляторами, почему у одних кристаллов сопротивление возрастает с температурой, а у других - уменьшается.

Очевидно, что дефект заложен в модели. Первое, что бросается в глаза - полное отсутствие учета кристаллической структуры, не рассматривается взаимодействие электрона с решеткой твердого тела. В связи с этим возникают два вопроса.

1.Почему модель Зоммерфельда оказывается все же работоспособной в целом ряде случаев?

2.Как отразится учет структуры кристаллической решетки на поведении электронов?

Сначала о первом. Потенциальная энергия электронов в атоме может быть изображена в виде “воронки”, образованной кулоновским взаимодействием с остовом иона. При сближении атомов вследствие суммирования потенциалов получится картина, схематически представленная на рис.1.4.1 (кривая 1). Она значительно отличается от предполагаемого в модели Зоммерфельда постоянного потенциала. Однако более строгое квантовомеханическое рассмотрение показывает, что валентные электроны испытывают сильное отталкивание от электронов остова иона. Это взаимодействие может быть учтено при помощи введения эффективного потенциала - псевдопотенциала (кривая 2, рис.1.4.1) – в виде:

, (1.4.1)

где Z – заряд остова иона, U ₀ и r_c - параметры, величины которых могут быть определены для каждого материала. q(x) - функция Хэвисайда:

(1.4.2)

В результате дно потенциального ящика оказывается лишь слабо модулированным. Если пренебречь этими небольшими изменениями потенциала, то и получаем тот, который предполагается в модели Зоммерфельда.

Учет даже слабого возмущения потенциала, имеющего периодичность, определяемую структурой решетки, приводит к изменению электронной структуры. Оно наиболее сильно выражено в области волновых чисел, кратных p/а (а - постоянная решетки). Основным является наличие запрещенных для электронов интервалов энергии ΔЕ_g (рис.1.4.2).

Их возникновение может быть объяснено следующим образом. Рассмотрим одномерную решетку. В простейшем случае поведение электрона может быть

описано при помощи плоской волны: y ~ exp(ikz) с длиной волны

l=2p/k (1.4.3)

Узлы решетки представляют собой центры рассеяния. Известно, что на периодически расположенных центрах рассеяния возможна дифракция волн (рис.1.4.3).

При этом должно быть выполнено соотношение Вульфа-Брегга:

(1.4.4)

где J₁ - угол падения на отражающую плоскость, J₂ - угол отражения, m - целое число. В одномерном случае J₁=J₂=0 и из (1.4.3) получим:

l=2a/m или k=pm/a. (1.4.5)

При выполнении этого условия волновая функция не может быть представлена в виде, соответствующем бегущей волне. Единственно возможным стационарным состоянием в этом случае является стоячая волна. Скорость ее распространения равна нулю, что означает dE/dk=0. При этом возможны два решения:

y ~ sin (pz/a), (1.4.6 а)

y ~ cos (pz/a) (1.4.6 б)

где начало координат совмещено с центром одного из атомов.

Они различаются. В первом случае электронная плотность½ y ½² преимущественно сосредоточена в промежутке между узлами решетки (рис.1.4.4). Потенциальная энергия взаимодействия электронов с ионами решетки в этом случае значительно отличается от второго, когда максимум ½ y ½² приходится на узлы решетки. Итогом является наличие на зависимости E(k) запрещенного промежутка DЕ_g.

Зонная модель позволила объяснить особенности поведения полупроводников. Ее успехи в описании электропроводности, теплопроводности, фотопроводимости, люминесценции и др. общеизвестны. Тем не менее, она не идеальна. Зонная модель основана на ряде предположений.

Прежде всего, предполагается, что многоэлектронная задача, с которой имеют дело при рассмотрении твердого тела, может быть сведена к одноэлектронной. Электроны, населяющие твердое тело, представляют собой систему взаимодействующих частиц. В зонной же теории считается, что электроны “не замечают” друг друга, каждый электрон имеет свою индивидуальную y и Е. Он живет своей жизнью, как если бы других электронов вовсе не существовало. Единственное, что напоминает ему о присутствии других электронов - принцип Паули, запрещающий электрону занимать квантовые состояния, уже занятые другими электронами. Зонная теория даже не учитывает тенденции электронов оставаться поодаль друг от друга. Не исключается возможность сосредоточения на одном атоме нескольких электронов. Такие состояния фигурируют в зонной теории наравне с прочими, хотя очевидно, что вероятность такого события должна быть мала.

Частично взаимодействие между электронами учитывается в так называемом методе самосогласованного поля. В этом методе взаимодействие данного электрона со всеми остальными заменяется введением некоторого э ффективного самосогласованного поля, образованного размазанным зарядом всех электронов и ионов системы. Рассматриваемый электрон предполагается движущимся в этом самосогласованном поле. Термин “самосогласование” означает, что поведение всех остальных электронов зависит от движения в том числе и данного электрона. Наиболее серьезные возражения возникают при описании поведения электронов, находящихся в валентной зоне. В этом случае задача явно многоэлектронная.

В зонной теории игнорируется обмен энергией между электроном и решеткой. Они находятся в состоянии мирного сосуществования, но не взаимодействуют друг с другом. Тепловое движение ионов также не учитывается при таком рассмотрении. Его приходится вводить в задачу специальным образом. Не описывается и процесс генерации или рекомбинации носителей, фиксируется только начальное и конечное состояния.

Серьезным недостатком является и предположение, что твердое тело представляет собой идеально-периодический кристалл. Между тем, кристалл с идеальной периодичностью это экзотика. Более того, в состоянии термодинамического равновесия в нем обязательно должны присутствовать дефекты с концентрациями, соответствующими энергии их образования. Правда, сопоставление экспериментальных результатов с расчетными показывает, что зонная теория хорошо объясняет наблюдаемые факты даже в случае твердых тел, не обладающих идеальной упорядоченностью. Оказывается, что существенен не дальний, а ближний порядок. Под последним термином понимают хорошее соблюдение периодичности на расстояниях, не очень сильно превышающих постоянную решетки (~ 100 a).

Подводя итог, можно сказать следующее. В теории твердого тела существует обширная группа задач, которые могут решаться в рамках зонной теории: электропроводность, теплопроводность и т.д. Однако имеются и такие задачи, которые принципиально выходят за рамки зонной теории. Примером является задача о рекомбинации свободного электрона со свободной дыркой. По зонной теории это просто схлопывание дырки, теория дает лишь начальное и конечное состояние, но не способна раскрыть и описать механизм процесса, являющегося результатом взаимодействия между дыркой и электроном. То же самое в полной мере относится и к процессу ионизации, т.е. рождения свободных носителей тока. Не укладываются в зонную теорию и экситонные состояния, плазмоны, дефекты, примеси и т.д. Для их описания приходится привлекать другие соображения: атомная модель, диэлектрическая среда и др.

В дальнейшем будем в основном использовать модель Зоммерфельда, как наиболее простую и в то же время передающую основные особенности наблюдаемых процессов. Зонная теория будет привлекаться лишь в тех случаях, когда невозможно иным путем понять происходящее.

Поиск по сайту: