Распределение термоэлектронов по энергиям. Средняя энергия термоэлектронов

Важной характеристикой любого эмиттера является средняя энергия эмитируемых частиц. В большинстве случаев заинтересованы в наибольшей однородности электронов по энергиям, поскольку это позволяет упростить управление пучками, и улучшает условия их фокусировки.

Рассчитать величину средней энергии термоэлектронов можно исходя из их энергетического распределения. Как уже говорилось выше, поток электронов с заданными компонентами импульсов, падающий изнутри на поверхность твердого тела, в рамках модели свободных электронов можно записать следующим образом:

, (2.8.1)

где индекс т означает, что величина относится к электрону, находящемуся в твердом теле. Е - полная энергия электрона:

. (2.8.2)

При выходе электрона на него действует сила, направленная только вдоль нормали к поверхности. Это означает, что преодоление барьера не влияет на движение вдоль поверхности, следовательно:

(2.8.3)

Меняется только компонента импульса, нормальная к поверхности. При этом полная энергия электрона не изменяется: при преодолении барьера он не отдает и не получает энергии. Это позволяет определить величину импульса вдоль оси z в вакууме р_z. Полагая энергию покоящегося в вакууме электрона равной нулю, получаем:

. (2.8.4)

Или:

, (2.8.5)

откуда:

(2.8.6)

Это позволяет получить выражение для потока эмитированных электронов в вакууме. Из (2.8.1), если учесть, что часть электронов может быть отражена потенциальным барьером:

(2.8.7)

Имея это выражение можно получить и распределение термоэлектронов по полным энергиям. Для этого перейдем к сферической системе координат.

(2.8.8)

Поскольку E>>E_F, то можно пренебречь единицей в знаменателе. Считая прозрачность не зависящей от нормальной к поверхности составляющей импульса, получим распределение термоэлектронов по энергиям в потоке. Для этого нужно проинтегрировать выражение по углу φ в пределах от 0 до 2p и по углу J от 0 до p/2. В результате получается следующее выражение:

(2.8.9)

где В – множитель, включающий в себя постоянные. В результате, распределение термоэлектронов по полным энергиям имеет простой вид:

. (2.8.10)

На рис. 2.8.1 приведена зависимость от приведенной энергии . Не трудно убедиться, что она имеет максимум при Е=kT. Из кривой видно, что энергия основной массы электронов не превышает 8-10kT. Часто для характеристики дисперсии какой-либо величины вводят понятие, которое на лабораторном жаргоне называют полушириной распределения. Под этой величиной понимают ширину пика на полувысоте максимума - D. В случае термоэлектронов эта величина равна 2,44kT. В действительности полуширина должна быть меньше из-за зависимости прозрачности от энергии.

Экспериментально распределение термоэлектронов по энергиям практически не исследовалось. Существует всего лишь несколько работ, в которых приводятся данные по распределению термоэлектронов по некоторым составляющим импульса. В частности, Хатсоном было получено распределение термоэлектронов с некоторых граней вольфрама по составляющей импульса, нормальной к поверхности [16]. Его экспериментальные результаты представлены на рис.2.8.1 (точки). Следует обратить внимание, что для оси ординат использовалась логарифмическая шкала, что позволяет сравнение результатов, полученных для разных граней простым смещением кривых по вертикали. Видно, что в данном случае при Т=2000 К D ~ 0,3 эВ.

На этом же рисунке приведено теоретически рассчитанное распределение термоэлектронов по нормальной компоненте импульса в предположении, что прозрачность барьера не зависит от величины энергии электрона (сплошная линия). Видно, что оно достаточно хорошо соответствует экспериментальной зависимости. Соответствие было бы полным, если бы не два обстоятельства. Во-первых, если бы не было зависимости коэффициента отражения от E_z. В действительности наличие такой зависимости должно сказаться на распределении, причем в наибольшей степени на количестве эмитированных электронов в области малых энергий. Второй причиной, приводящей к некоторому искажению максвелловского распределения, является наличие открытого конца у измерительной системы: эмитированные электроны поглощаются анодом. Это приводит к более быстрому удалению из потока электронов тех из них, которые обладают более высокими скоростями.

Из рис.2.8.2 следует, что основная масса электронов имеет энергии, близкие к нулевым, и средняя энергия должна быть невелика. Она может быть вычислена. Для этого удобно вычислить средние значения частей энергии, соответствующих движению вдоль отдельных координат, а затем их просуммировать. Согласно общему правилу вычисления средних значений:

. (2.8.11)

Из выражения (2.8.7) видно, что направления не равноценны. Средняя энергия движения вдоль оси z должна отличаться от таковой для движения вдоль осей x и y. Подставляя соответствующие выражения в (2.8.11), получаем для направления вдоль поверхности:

(2.8.12)

Фигурирующие в правой части интегралы являются табличными [17,18]:

(2.8.13)

Используя этот результат, получаем:

(2.8.14)

Таким образом, средняя энергия, соответствующая движению вдоль поверхности, не отличается от той, которую имеют частицы идеального газа.

Поступая аналогичным образом при вычислении , имеем:

(2.8.15)

Опять-таки, в правой части получается табличный интеграл (хотя его нетрудно и проинтегрировать). Итак:

(2.8.16)

В итоге для полной средней кинетической энергии термоэлектронов имеем:

(2.8.17)

В качестве примера рассчитаем среднюю энергию электронов, эмитированных катодом, имеющим температуру 1000 К:

.(2.8.18)

Низкая энергия большинства эмитированных электронов требует более внимательного отношения к использованию усредненного значения коэффициента отражения. На рис.2.8.2 приведены зависимости прозрачности от энергии электронов, движущихся над потенциальным барьером. Поскольку точная форма не известна, расчет был проведен для двух случаев. Принималось, что глубина потенциальной ямы составляет 10 эВ. В первом предполагалось скачкообразное изменение потенциала на поверхности. Из квантовой механики известно, что прозрачность в случае прямоугольной стенки определяется следующим выражением [Р6, с.103]: (2.8.19)

где k₁ и k₂ – волновые числа для электронов в металле и в вакууме, соответственно, а отсчет энергии ведется от уровня вакуума. Рассчитанная зависимость представлена кривой 1 на рисунке 2.8.3.

Во втором случае предполагалось, что изменение потенциала на поверхности имеет плавный характер:

, (2.8.20)

где g - параметр, характеризующий «скорость» изменения барьера на поверхности. Для барьера такой формы прозрачность также может быть получена в аналитической форме [Р6, с.105]:

(2.8.21)

Зависимость, вычисленная при предположении, что область изменения потенциала составляет ~ 3 Å (g = 1,5 Å^-1) представлена на рисунке (кривая 2). Очевидно, что в области энергий, которую имеют термоэлектроны, в обоих случаях наблюдается быстрое изменение коэффициента прозрачности. Из этого можно заключить, что изменение температуры, сопровождающееся изменением средней энергии эмитирующих электронов, должно сопровождаться и изменением величины усредненного коэффициента отражения. Это позволяет прогнозировать, что реально предэкспоненциальный множитель в основном уравнении для термоэмиссии должен меняться с температурой быстрее, чем Т².

Поиск по сайту: