Термодинамический вывод основного уравнения термоэмиссии

Экспериментальные исследования показали, что плотность тока термоэмиссии сильно зависит от температуры и внешнего электрического поля. Задачей теории является установление связи между этими величинами. Чтобы упростить расчет, будем считать, что внешнее поле отсутствует (F=0).

Рассмотрим полость внутри металла, находящегося при температуре Т (рис.2.2.1). В состоянии равновесия полость заполнена газом, состоящим из электронов и атомов металла, а также их ионов, которые испаряются со стенок полости. Если энергия испарения атомов и ионов велика, что обычно и имеет место, то наличием последних можно пренебречь и считать, что газ состоит только из электронов. В стационарном состоянии между электронным газом в полости и электронами твердого тела имеется динамическое равновесие. Это означает, что убыль электронов из газа в полости за счет их входа в стенки должна компенсироваться поступлением электронов вследствие их эмиссии. Поэтому определить величину эмиссионного тока со стенок полости можно исходя из свойств электронного газа в полости.

Электроны в газовой фазе движутся в различных направлениях, в том числе и по направлению к стенкам. Будем считать, что на стенки полости падает поток электронов с плотностью n_п. Часть из них отразится, как это следует из квантово механических расчетов вероятности прохождения частиц над барьером. В общем случае вероятность этого процесса зависит от энергии падающих электронов. Однако учесть это трудно, поскольку величина коэффициента отражения электронов существенно зависит от деталей формы потенциального барьера. Поэтому для простоты полагают, что можно ввести некоторое усредненное значение коэффициента отражения . Такое допущение можно оправдать тем, что энергии электронов в полости не велики и не сильно различаются, как это будет видно из дальнейшего. Тогда для плотности отраженного потока можно написать следующее соотношение:

(2.2.1)

Это позволяет получить величину потока электронов, входящих в металл, используя очевидное соотношение:

(2.2.2)

В равновесии уход части электронов из полости в металл должен быть полностью скомпенсирован эмиссией электронов. Следовательно, для плотности термоэмиссионного тока j справедливо следующее выражение:

(2.2.3)

Таким образом, чтобы вычислить j, необходимо определить n_п. Это можно сделать, если допустить, что заполняющий полость электронный газ является идеальным. Из теории идеального газа следует:

(2.2.4)

где n_g - концентрация электронов газа, а - средняя скорость их движения:

(2.2.5)

(m - масса электрона). В свою очередь, концентрация электронного газа связана с величиной давления в полости:

(2.2.6)

Остается определить только величину давления электронного газа р на стенки полости. Для этого рассмотрим машину Карно (рис.2.2.2). Пусть стенки камеры и поршень изготовлены из нашего материала. В качестве рабочего вещества, создающего давление на поршень, используем электроны, эмитированные из стенок. Цикл Карно состоит из четырех этапов (рис.2.2.3).

1. Изобарическое и, одновременно, изотермическое расширение. Для этого необходимо затратить энергию Q₁, которая расходуется на испарение необходимого числа c молей электронного газа:

Q₁=c l(T), (2.2.7)

где l(T) - энергия испарения одного моля электронов.

2. Адиабатическое расширение, в ходе которого температура газа понижается на величину dT.

3. Изобарическое и изотермическое сжатие, при этом выделяется энергия Q₂.

4. Адиабатическое сжатие, врезультате которого система возвращается в первоначальное состояние. Как показано в термодинамике, работа W, совершаемая в результате этого цикла, равна

W=Vdp=cV₁dp, (2.2.8)

где V₁ - объем, приходящийся на 1 моль электронного газа. Коэффициент полезного действия этой машины, как следует из теоремы Карно:

. (2.2.9)

Подставляя в это выражение величины для энергий из (2.2.7) и (2.2.8) получаем уравнение Клапейрона-Клаузиса:

. (2.2.10)

Поскольку выше было сделано предположение об идеальности электронного газа, то можно исключить величину V_1, воспользовавшись хорошо известным соотношением:

R_уT = p[V₁-V₁(к)] @ pV₁ (2.2.11)

где R_у - универсальная газовая постоянная. Считалось, что объем, занимаемый электронами в конденсированном состоянии, V₁(к), мал, и им можно пренебречь. Подставляя V₁ в (2.2.10) получаем:

(2.2.12)

Остается только найти явный вид для энергии испарения одного моля электронного газа. Для этого воспользуемся опять-таки результатами термодинамики. Из первого начала следует, что:

dl(T)=[c_p(г)-c_p(к)]dT, (2.2.13)

где c_p(г) и c_p(к) - теплоемкость при постоянном давлении идеального газа электронов и она же для электронов в конденсированном состоянии. Для c_p(г) хорошо известно следующее соотношение:

c_p(г)=c _v (г)+R_у. (2.2.14)

Теплоемкость при постоянном объеме c _v (г) равна, как следует опять-таки из теории идеального газа 3R_у/2. Таким образом, c_p(г)=5R_у/2 и, интегрируя по Т выражение (2.2.13), получаем:

, (2.2.15)

где l₀ – энергия испарения одного моля электронов при Т=0 К.

Определение величины c_p(к) затруднено. Однако, как показано в теории Зоммерфельда, эта величина в случае металлов мала, и в хорошем приближении можно пренебречь последним слагаемым. Подставляя (2.2.15) в (2.2.12) получим выражение:

, (2.2.16)

которое легко интегрируется:

. (2.2.17)

ln C -константа интегрирования. Или:

. (2.2.18)

Подставляя последовательно (2.2.18) в (2.2.6), а затем (2.2.6) и (2.2.5) в (2.2.4) и (2.2.4) в (2.2.3) в итоге имеем:

. (2.2.19)

Поскольку R_у=N_Ak, где N_A - число Авогадро, и l₀=N_Aj, где j - энергия, необходимая для испарения одного электрона, т.е. работа выхода, то, объединяя постоянные, получим для плотности термоэмиссионного тока следующее выражение:

. (2.2.20)

A₀ называют универсальной постоянной Ричардсона. Полученное уравнение является основным уравнением для термоэмиссии. Иногда его называют уравнением Ричардсона в честь его автора.

При термодинамическом выводе одним из основных допущений является предположение об идеальности электронного газа в полости. Можно убедиться в том, что оно удовлетворительно выполняется. Для того, чтобы газ был идеален, необходимо, чтобы:

1) газ был не вырожденным при всех разумных температурах;

2) кинетическая энергия электронов значительно превышала потенциальную энергию их взаимодействия, так что последнюю можно было бы не учитывать.

Из распределения Ферми видно, что при E_F<<kT газ можно считать подчиняющимся максвелловском распределению. Это и является свидетельством отсутствия вырождения. Чтобы убедиться в выполнении первого условия, необходимо рассчитать энергию Ферми E_F, соответствующую возможной концентрации электронного газа в полости. Для вычислений используем величину термоэмиссионного тока j=10 A/см², полученную в случае вольфрамового катода при температуре Т=3000 К, близкой к температуре плавления. Это одно из наибольших значений плотности тока, наблюдавшихся экспериментально. Для простоты будем считать =0. Такое предположение приведет к несколько завышенной величине концентрации, что менее выгодно для нашей оценки. Используя (2.2.4) и (2.2.5), получаем, что концентрация электронного газа в полости:

см^-3. (2.2.21)

В свою очередь, энергия уровня Ферми связана с этой величиной соотношением (1.1.30). Итак:

эВ. (2.2.22)

Напомним, что даже при комнатной температуре kT=0.025 эВ, т.е. на четыре порядка выше полученной величины. Термоэмиссионный же ток измеримой величины может быть получен только при Т в несколько раз превышающей комнатную. Из этого с очевидностью следует выполнение требования об отсутствии вырождения газа.

Бόльшие затруднения вызывает проверка второго условия. Потенциальную энергию взаимодействия электронов друг с другом рассчитать сложно, но можно провести оценку этой величины следующим образом. Положим, что электроны в среднем находятся на равных расстояниях r друг от друга, которое можно определить из соотношения:

. (2.2.23)

Тогда энергия взаимодействия двух соседних электронов равна следующей величине:

эВ. (2.2.24)

Учет взаимодействия с другими электронами, естественно, приведет к увеличению полученной цифры. Но даже если величина возрастет на порядок, то и в этом случае энергия взаимодействия окажется примерно в 10 раз меньше средней кинетической энергии электронов при Т = 3000 К:

эВ. (2.2.25)

Следует также учесть, что при наших оценках использовался случай чрезвычайно высокого термоэмиссионного тока. Обычно условия менее жесткие. Сказанное позволяет считать, что и второе условие идеальности электронного газа в полости также выполняется.

Наконец, при выводе предполагалось, что теплоемкость электронного газа пренебрежимо мала. На самом деле c_p(k)¹ 0. Однако, в настоящее время этот вопрос до конца не решен.

Полученное для плотности термоэмиссионного тока выражение хорошо объясняет экспериментально наблюдаемую прямолинейную зависимость ln (j/Т²) от обратной температуры. В разделе 2.1. была приведена такого рода зависимость, правда там использовалась несколько другая шкала ординат – просто ln j. Это объясняется тем, что вследствие экспоненциальной зависимости тока от обратной температуры возможно исследование только в очень узком интервале температур. Это делает нечувствительным ход кривой к изменениям величины Т в предэкспоненциальном множителе. Экспериментально величина показателя степени Т не проверялась.

Кроме того, при выводе полагались не зависящими от температуры такие величины, как c_p(k), R. Скорее всего, это является только приближением. Однако, учет этих обстоятельств не может существенно изменить основное уравнение, о чем свидетельствует хорошее совпадение предсказываемых зависимостей с результатами опытов.

Поиск по сайту: