Статистический вывод основного уравнения термоэмиссии

Приведенный выше термодинамический вывод (раздел 2.2) позволил получить зависимость термоэмиссионного тока от температуры. Однако, он не позволяет рассчитать величину j, поскольку остается неизвестной величина универсальной постоянной А₀ в ур.(2.2.20). Статистический вывод опирается на знание состояния электронного газа в эмиттере. Это позволяет вычислить поток электронов, падающих на поверхность изнутри твердого тела и, учтя вероятность преодоления потенциального барьера на поверхности, получить количественное описание тока эмитированных электронов. Проще всего провести такой расчет в рамках модели свободных электронов. В этом случае вывод, в отличие от термодинамического, не имеет общего характера. Он применим только к тем металлам, для которых справедливо используемое приближение. Но это позволяет получить численное значение для универсальной постоянной А₀, которое может быть использовано в случае других материалов.

Рассмотрим металл, находящийся при высокой температуре. Поскольку электронный газ находится в равновесии с кристаллической решеткой, то распределение электронов соответствует требуемому статистикой Ферми-Дирака. Даже на уровнях с энергией, намного превышающей энергию Ферми, имеется значительное количество электронов. Часть из них двигается по направлению к поверхности. Вероятность преодоления барьера определяется его прозрачностью, для вычисления которой необходимо знать точную форму барьера.

Рассмотрим более общий, чем в разделе 2.2, случай, когда у поверхности имеется однородное, оттягивающее электроны от поверхности электрическое поле напряженностью F. Как показано в 1.3.4, наличие поля приводит к шоттковскому понижению потенциального барьера (рис.2.4.1) В данном случае предполагается, что потенциал является функцией только одной координаты - по нормали к поверхности. Вдоль остальных координат х и у он неизменен. Соответственно, сила, действующая на выходящий электрон, направлена вдоль оси z:

(2.4.1)

где - единичный вектор вдоль нормали к поверхности. Эта сила может изменить только z -компоненту импульса электрона p_z. На остальных компонентах импульса наличие потенциального барьера не сказывается. Поэтому для удобства, также как в разделе 1.2, выделим из всей кинетической энергии часть, соответствующую движению вдоль оси z:

(2.4.2)

Поскольку потенциальный барьер есть функция только координаты z, то очевидно, что его прозрачность является также только функцией E_z и F:

D=D(E_z,F) (2.4.3)

Если известно аналитическое выражение для прозрачности барьера, то можно вычислить величину эмиссионного тока, создаваемого электронами, имеющими энергию в интервале E_z¼E_z+dE_z:

(2.4.4)

Величина потока электронов, падающих изнутри на поверхность, была получена ранее (1.2.15). Используя это выражение, получаем для тока электронов, сумевших преодолеть потенциальный барьер на поверхности, следующее выражение:

(2.4.5)

Плотность эмиссионного тока можно получить интегрированием по всем возможным энергиям от дна потенциального ящика Е_С до ∞:

(2.4.6)

К сожалению, точная форма потенциального барьера неизвестна. Поэтому упростим задачу. Будем считать, что напряженность внешнего поля невысока (F<10⁶ В/см) и можно пренебречь туннелированием электронов сквозь потенциальный барьер. Это означает, что:

D(E_z,F)=0 при E_z<- , (2.4.7)

где учтено, что за ноль принята энергия покоящегося в вакууме электрона в случае отсутствия внешнего поля.

Для электронов с более высокими энергиями, как и ранее, положим, что прозрачность имеет некоторое усредненное значение, не зависящее от величины E_z:

D(E_z,F)= при E_z>- (2.4.8)

Более точный учет этой величины не продуктивен, поскольку для этого необходимо знание точной формы барьера. Предположения, сделанные относительно прозрачности потенциального барьера на поверхности, позволяют сузить интервал интегрирования. Все же аналитически вычислить интеграл не удается. Однако можно воспользоваться тем, что в области интегрирования экспонента мала, поскольку E_z>> E_F. Это позволяет разложить логарифм в ряд. Оставляя только главный член разложения, получаем:

(2.4.9)

Учитывая, что E_F = - j₀, и вводя обозначение:

(2.4.10)

приходим к уравнению, которое отличается от полученного ранее (2.2.20) только наличием в экспоненте шоттковского понижения работы выхода и полностью совпадает с ним при F=0:

. (2.4.11)

Таким образом, статистический вывод позволяет получить количественное значение постоянной Ричардсона, которая, учитывая ее универсальность, справедлива и для других материалов, в том числе и для тех, для которых не годится модель свободных электронов.

Подставляя в (2.4.10) константы и выражая ток в амперах, получаем следующую величину универсальной постоянной:

(2.4.12)

(учитывалось, что 1 А = 3·10⁹CGSE).

Полученное уравнение позволяет объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость величины тока от напряженности электрического поля. Если обозначить ток в отсутствии поля величиной:

, (2.4.13)

то из (2.4.11) следует:

(2.4.14)

Считая пренебрежимо малым изменение коэффициента отражения в поле, получаем прямолинейную зависимость lnj от , что соответствует экспериментальным данным (рис.2.1.4).

Из (2.4.14) видно, что наличие внешнего электрического поля приводит к увеличению эмиссионного тока, причем тем большему, чем ниже температура катода. В табл.2.4.1 приведены значения j/j₀ при некоторых F. Принималось, что катод находится при Т=2000 К. Видно, что величина эмиссионного тока при небольшой напряженности увеличивается незначительно, на проценты. Однако, при полях порядка 10⁴-10⁵ В/см прибавка становится достаточно весомой.

Такая простая зависимость справедлива только в ограниченной области внешних полей. Она нарушается при малой разности потенциалов между анодом и катодом, а также при очень высоких напряженностях поля у поверхности катода (рис.2.4.2). Отступление от прямолинейной зависимости в области малых полей объяснимо. При термоэмиссии имеется большое число электронов с малыми скоростями. При малой разности потенциалов их кинетической энергии может быть недостаточно для преодоления поля, существующего между электродами, что приводит к резкому уменьшению термоэмиссионного тока с понижением разности потенциалов. Кроме того, в межэлектродном промежутке возможно образование объемного заряда, также препятствующего эмиссии электронов.

При F>10⁵ B/см отклонения от прямолинейной зависимости имеют осциллирующий характер, причем амплитуда осцилляций увеличивается с ростом напряженности поля Природа осцилляций в области высоких полей до конца не понята. Наиболее вероятным объяснением представляется следующее. Полученное для термоэмиссионного тока выражение не способно предсказать периодические отклонения от шоттковской зависимости, поскольку не учитывает возможности надбарьерного отражения электронов. В действительности электрон, имеющий энергию, близкую к вершине барьера, при своем движении из металла испытывает рассеяние. Критическими являются области, расположенные примерно при z=z₀ и z=z_m. z₀ соответствует точке, в которой U(z₀)= E_С, а z_m – положению максимума потенциального барьера, зависящего от напряженности электрического поля (рис.2.4.3). Результатом является возможность интерференции электронных волн, которая чувствительна к величине z_m - z₀. Если эта разность приблизительно кратна средней длине волны электрона, то фазы распространяющихся в сторону вакуума электронных волн совпадают и, следовательно, амплитуда волновой функции увеличивается, что соответствует увеличению эмиссионного тока. Для других значений внешнего поля волны гасят друг друга. В каком-то смысле ситуация аналогична имеющейся при прохождении света сквозь тонкую пластинку.

Более точный учет формы потенциального барьера, основанный на учете при малых z обменных и корреляционных сил, позволяет в ряде случаев добиться хорошего согласия амплитуды и фазы осцилляций с наблюдаемыми в экспериментах. На рис.2.4.4 приведены экспериментальные результаты, полученные при исследовании термоэмиссии из W(111), а также расчетная зависимость [15]. Видно, что в данном случае удается добиться неплохого согласия, как по амплитуде, так и по периоду осцилляций.

Поиск по сайту: