Закон трех вторых (закон Ленгмюра)

Электроны, покидающие катод при термоэмиссии имеют невысокую начальную скорость. Если их достаточно много, то это приводит к образованию объемного заряда. Действующее на каждый электрон в межэлектродном промежутке поле складывается из внешнего электрического поля, создаваемого разностью потенциалов V между анодом и катодом, и поля объемного заряда. В случае термоэлектронной эмиссии последнее имеет противоположное направление и препятствует движению электронов по направлению к аноду. В зависимости от величины разности потенциалов V и плотности эмиссионного тока возможны три варианта изменения потенциальной энергии электронов в промежутке между электродами (рис.2.9.1). При малых V или высоких значениях плотности тока возможно появление дополнительного потенциального барьера (кривая 1). В этом случае наиболее медленные из термоэлектронов вынуждены возвращаться на катод. Объемный заряд, таким образом, ограничивает величину эмиссионного тока, который определяется уже не только температурой и работой выхода эмиттера, как этого требует уравнение Ричардсона, но и разностью потенциалов. Увеличение напряжения на аноде приводит к понижению высоты барьера, пока при некотором значении V он не исчезает вовсе (кривая 2). Это сопровождается увеличением тока в цепи, соединяющей электроды. После этого дальнейшее увеличение напряжения уже не должно вызывать изменения эмиссионного тока, поскольку даже самые медленные электроны способны беспрепятственно дойти до анода (кривая 3).

Если будем увеличивать эмиссионный ток (например, повышая температуру катода), то ограничение тока начнется с тех значений j, при которых непосредственно у поверхности катода сила, действующая на выходящий электрон со стороны суммарного поля, станет равной нулю:

(2.9.1)

Если бы градиент поля был положителен, то все эмитированные электроны попадали бы на анод, и j равнялась бы плотности тока насыщения. В противоположном случае при сделанном предположении о начальных скоростях электронов ни один из них не мог бы уйти из катода.

Как известно из электростатики, потенциал в каждой точке электрического поля связан с плотностью пространственного заряда уравнением Пуассона. В рассматриваемом нами случае вследствие симметрии задачи уравнение можно записать следующим образом:

(2.9.2)

где r - плотность объемных зарядов. Последняя величина определяется током, протекающим между электродами:

(2.9.3)

Знак минус отражает тот факт, что носителями тока являются отрицательно заряженные электроны. v (z) – скорость, с которой движутся электроны. При сделанном предположении о нулевой начальной скорости вся работа, совершенная над электроном электрическим полем, переходит в кинетическую энергию. Это означает, что справедливо следующее соотношение:

(2.9.4)

или

(2.9.5)

Подставляя это выражение в (2.9.3) можно выразить r(z) через j и получить уравнение Пуассона в следующем виде:

(2.9.6)

Умножая обе части уравнения на получаем:

(2.9.7)

Уравнение можно проинтегрировать в интервале от 0 до z. Используя начальные условия:

(2.9.8)

имеем:

(2.9.9)

Последующее интегрирование позволяет получить зависимость потенциала от расстояния до катода:

(2.9.10)

Если анод, на котором напряжение V_a размещается от катода на расстоянии L, то получим для тока эмиссии выражение, которое называют законом Ленгмюра или законом трех вторых:

(2.9.11)

Полученную зависимость называют «законом трех вторых». Из нее видно, что величина тока в случае ограничения объемным зарядом зависит как от разности потенциалов, так и от расстояния между электродами (рис.2.9.2). Увеличение расстояния между электродами приводит к уменьшению напряженности поля, что облегчает формирование объемного заряда. Соответственно, ток насыщения достигается при больших напряжениях на аноде.

К сожалению, физический смысл полученного результата не ясен. Если все выходящие электроны имеют нулевую скорость, что предполагалось при выводе, то либо они все попадут на анод, либо все вернутся в катод. Более обоснованные с физической точки зрения расчеты, которые учитывают распределение электронов по энергиям, показали, что, несмотря на явный дефект вывода, закон трех вторых правильно описывает зависимость тока от разности потенциалов в диодной системе.

На распределение поля существенно влияет геометрия электродов, что, соответственно, должно влиять и на зависимость тока от разности потенциалов. В часто встречающемся случае цилиндрической формы катода (проволока) выражение для зависимости тока от напряжения может быть представлено в виде:

(2.9.12)

где b - некоторая функция от радиуса катода и расстояния до анода, которая может быть вычислена численно. Таким образом, и в случае систем с другой геометрией выполняется закон трех вторых.

Поиск по сайту: