Единичные корни и коинтеграция

Нестационарный процесс, первые разности которого стационарны, называется интегрированным процессом первого порядка и обозначается I (1). Стационарный процесс в этих обозначениях является I (0)-рядом. Как известно, при моделировании зависимости между временными рядами на основе регрессионного анализа важно знать, являются ли анализируемые ряды стационарными или нет. В случае стационарности оценки, полученные на основе метода наименьших квадратов, будут «хорошими», т.е. несмещёнными, эффективными и состоятельными. Но если моделируемые временные ряды не стационарны, велика вероятность получить ложную регрессию, особенно, если эти ряды имеют тренды. Отличить ложную регрессию от истинной можно, опираясь на теорию коинтеграции.

Предположим, что существует специфическое соотношение между двумя нестационарными временными рядами. Снова рассмотрим два случайных блуждания y_t и x_t, но на этот раз предположим, что существует некоторое действительное линейное соотношение между ними. Существование этого соответствия отражается в утверждении, что существует некоторое значение β такое, что ряд y_t – βx_t является интегрируемым порядка 0, I (0), хотя оба ряда y_t и x_t являются интегрируемыми порядка 1, I (1). В этом случае говорят, что временные ряды y_t и x_t являются коинтегрированными. И хотя относящаяся к этому случаю теория оценивания нестандартна, можно показать, что состоятельное оценивание β в регрессии y_t = α + βx_t + ε_t возможно. В этом случае обычная оценка наименьших квадратов b является суперсостоятельной для β, поскольку она сходится к β намного быстрее, чем обычно. Поэтому обычные процедуры статистического вывода здесь не применимы.

Если y_t и x_t оба являются I (1) и существует β такое, что z_t = y_t – βx_t является I(0), то y_t и x_t являются коинтегрированными, с β называемым коинтегрирующим параметром. В этом случае на долгосрочные динамические компоненты y_t и x_t действует особое ограничение. Т.к. оба временных ряда y_t и x_t являются I (1), они будут подчиняться «длинноволновым» компонентам, а z_t, будучи I(0), нет: поэтому y_t и β x_t должны иметь долгосрочные динамические компоненты, которые фактически уравновешиваются, чтобы порождать z_t.

Эта идея связана с понятием долгосрочного динамического равновесия. Предположим, что такое равновесие определяется соотношением y_t = α + βx_t. Тогда разность z_t – α (где z_t = y_t – βx_t) является «остатком равновесия», который измеряет величину отклонения значения y_t от своего «значения равновесия» α – βx_t. Если разность z_t – α стационарна, то остаток равновесия стационарен и флуктуирует вокруг нуля. Следовательно, система в среднем будет находиться в равновесии. Однако, если y_t и β x_t некоинтегрированы и, следовательно, z_t – α является I (1), остаток равновесия может долго блуждать, и пересечения нуля будут очень редкими. При таких обстоятельствах не имеет смысла рассматривать y_t = α + βx_t как долгосрочное динамическое равновесие. Следовательно, наличие коинтегрирующего параметра может интерпретироваться как наличие соотношения долгосрочного динамического равновесия.

Из рассмотренного следует, что важно различать случаи существования коинтегрирующего соотношения между y_t и x_t и случаи ложной регрессии.

Пусть известно, что y_t и x_t являются I (1), и предположим, что оценивается коинтегрирующая регрессия

y_t = α + βx_t + ε_t. (2.12)

Если y_t и x_t коинтегрированы, то член оценённой ошибки в регрессии (2.12) является I (0), в противном случае e_t будет I (1). Следовательно, можно протестировать наличие коинтегрирующего соотношения с помощью теста наличия единичного корня в оценённых остатках e_t из регрессии (2.12).

Однако следует иметь в виду, что этот случай теста наличия единичного корня несколько отличается от обычного тестирования временного ряда на единичный корень. Дело в том, что здесь тестируются остатки, полученные методом наименьших квадратов. А метод наименьших остатков минимизирует дисперсию остатков. Поэтому он выбирает среди всех остатков те, которые имеют минимальные значения по абсолютной величине. И даже если остатки нестационарны, то данный метод делает их похожими на стационарные, и мы в этом случае можем отклонять гипотезу о единичном корне (о нестационарности) слишком часто.

Чтобы избежать подобных ошибок, были вычислены соответствующие критические значения, отличные от стандартных критических значений теста Дики – Фуллера. Так, например, асимптотическое критическое значение теста наличия единичного корня в остатках для коинтеграции (с константой) на 5%-ном уровне значимости равно – 3,34, вместо – 2,86 в стандартном случае.

Другой метод тестирования коинтеграции основан на статистике Дарбина – Уотсона, рассчитанной для исходного уравнения. В этом случае проверяется гипотеза о равенстве нулю статистики Дарбина – Уотсона для генеральной совокупности. Это связано с тем, что, как известно, связь между статистикой Дарбина – Уотсона (dw) и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка (r_a^{(1 )}) определяется соотношением dw 2(1 – r_a^{(1 )}). Поэтому, если r_a^{(1 )}) =1 (единичный корень), то dw . Этот тест называется тестом коинтегрирующей регрессии Дарбина – Уотсона.

В эконометрической литературе приводятся критические значения этой статистики для разных уровней значимости (для 5%-ного уровня значимости, например, критическое значение равно 0,386, если число наблюдений равно 100 и равно 0,2 при числе наблюдений, равном 200). Если расчётное значение статистики Дарбина – Уотсона превышает критическое значение, то гипотеза об отсутствии коинтеграции отклоняется.

Поиск по сайту: