 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Процессы белого шума и случайного блуждания
Процессом белого шума называют стационарный временной ряд, для которого математическое ожидание равно нулю, дисперсия постоянна и не зависит от времени, и коэффициенты автокорреляции любого порядка равны нулю. Последнее означает, что речь идёт о чисто случайном стационарном процессе без какой-либо автокорреляции. Процессом авторегрессии в простейшей форме (авторегрессия первого порядка или AR(1)- процесс без константы) называется процесс, описываемый следующим уравнением:
(1.2)
где 
– процесс белого шума, 
– некоторая случайная величина (начальное значение), а 
– некоторый постоянный коэффициент.
Вычислим дисперсию этого процесса.
D (yt) = β2 D (yt-1) + σ2,
где σ2 – дисперсия белого шума. Если рассматриваемый временной ряд стационарный, то D (yt) = D (yt-1), тогда D (yt) = β2 D (yt) + σ2 или D (yt) = σ2/(1- β2), что имеет смысл, если |β|<1. Получили, что если |β|<1, то модель (1.2) описывает стационарный временной ряд,
Запишем соотношение (1.2) через процесс белого шума. Для этого перепишем (1.2) для индекса t-1. Получим yt-1 = βyt-2 + 
t-1. Подставив полученное выражение для yt-1 в (1.2) получим yt = β(βyt-2 + t-1) + t или yt = β2yt-2 + β 
t-1 + t. Повторив эту процедуру (подставив в последнее выражение y t-2) получим yt = β3yt-3 + β2 t-2 + β t-1 + t и т.д. Окончательно получим (при y0 =0):
yt = βt-1 1 + βt-2 2 +…+ β2 t-2 + β t-1 + t.
Пусть теперь 
. Тогда
yt = 1 + 2 +…+ t-2 + t-1 + t.
Вычислим дисперсию последнего процесса. Получим D (yt) = t σ2, т.е. дисперсия зависит от времени и процесс, описываемый моделью (1.2) при , не является стационарным. Такие процессы называют процессами случайного блуждания (random walk process). Такое название объясняется тем, что каждое последующее значение уровня такого ряда определяется случайным отклонением от предыдущего: yt = yt- 1 + t.
Процесс случайного блуждания отличается от стационарного процесса AR(1) тем, что влияние возмущений t в нём не затухает:
yt = t + t-1 + t-2 + t-3 +…
в то время как в AR(1) их влияние с течением времени затухает (|β| < 1):
yt = t + β t-1 + β2 t-2 + β3 t-3 + ….
Процесс случайного блуждания называют также процессом со стохастическим трендом и записывают yt = 
.
Если в процесс случайного блуждания yt = yt-1 + t включить константу, т.е. представить его в виде yt = µ + yt-1 + t, то получим случайное блуждание с дрейфом (random walk with drift). Такое название он получил потому, что повторив для этого процесса вышеприведённую процедуру получим
yt = µ t + 1 + 2 +…+ t-2 + t-1 + t.
В этом случае на стохастический тренд накладывается ещё и детерминированный линейный тренд, т.е. yt = µ t + .
Если 
, то имеем нестационарный случайный процесс взрывного характера и в экономическом анализе такие процессы обычно не рассматриваются.
На рисунке 1.21 приведены примеры временных рядов для рассмотренных случаев. Вверху, слева пример белого шума, справа – пример случайного блуждания (AR(1)- процесс без константы с ). Внизу, справа – пример случайного блуждания с дрейфом (AR(1)-процесс с константой и с ). Внизу, слева – AR(1)- процесс взрывного характера (с β =1,1, т.е. с ).
Рисунок 1.21 – Графики анализируемых рядов
Введём понятие лагового оператора L. Если его применить к ряду y t,, то тем самым сдвинем уровень ряда на один такт времени назад, т.е. Lyt = y t-1. Перепишем процесс случайного блуждания с помощью этого оператора: yt = yt-1 + t или yt – yt-1 = t. Далее (с применением оператора сдвига) получим yt – Lyt = t или (1- L) yt = t. Такие процессы называются процессами единичного корня. Этот термин объясняется тем, что у лагового полинома 
корень равен единице, т.е. корень уравнения β(L) = 0 равен единице (L = 1).
На практике модель случайного блуждания используется для описания относительных показателей, в том числе динамики темпов роста, а процесс случайного блуждания с дрейфом – для описания многих временных рядов, описывающих абсолютные показатели, включая предложение денег и реального валового национального продукта.
Следует различать типы стационарных процессов: они могут быть стохастическими и AR(1)- процессами. Визуально их различить проблематично. Так, на рисунке 1.22 приведены графики двух стационарных рядов; слева – белый шум, справа – AR(1)-процесс с параметром β = 0,5.
Рисунок 1.22 – Графики анализируемых рядов
Рисунок 1.23 – Кореллограммы анализируемых рядов
Визуально они действительно мало различимы, но их кореллограммы существенно различаются. В случае белого шума автокорреляции не выходят за пределы доверительной области нуля и соответствующие Q-статистикам вероятности больше 0,05 (левая часть рисунка 1.23). А в случае стационарного AR(1)- процесса автокорреляции и частные автокорреляции (по крайней мере, первого порядка) значимо отличны от нуля и Q-статистика и соответствующие им вероятности отклоняют гипотезу о том, что это белый шум. Но тем не менее этот ряд стационарный.
Поиск по сайту: