АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Процессы белого шума и случайного блуждания

Читайте также:
  1. C.I Процессы с ключевых точек зрения
  2. L.3.1. Процессы переноса вещества и тепла.
  3. L.3.2. Процессы присоединения частиц. Механизмы роста.
  4. V1: Переходные процессы в линейных электрических цепях, методы анализа переходных процессов
  5. V1: Процессы в сложных электрических цепях, цепи с распределенными параметрами
  6. АДАПТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЕ И МЕТОДИКА ИХ РЕГУЛИРОВАНИЯ
  7. Американские процессы
  8. Бег белого коня
  9. БЕЛКОВЫЙ ПОРОШОК И ПРОЦЕССЫ ПРОИЗВОДСТВА
  10. БЛУЖДАНИЯ БЕЗ ПАМЯТИ
  11. Вероятность случайного события – это количественная оценка объективной возможности появления данного события.
  12. Видение Белого Города

Процессом белого шума называют стационарный временной ряд, для которого математическое ожидание равно нулю, дисперсия постоянна и не зависит от времени, и коэффициенты автокорреляции любого порядка равны нулю. Последнее означает, что речь идёт о чисто случайном стационарном процессе без какой-либо автокорреляции. Процессом авторегрессии в простейшей форме (авторегрессия первого порядка или AR(1)-процесс без константы) называется процесс, описываемый следующим уравнением:

(1.2)

где – процесс белого шума, – некоторая случайная величина (начальное значение), а – некоторый постоянный коэффициент.

Вычислим дисперсию этого процесса.

D(yt) = β2 D(yt-1) + σ2,

где σ2 – дисперсия белого шума. Если рассматриваемый временной ряд стационарный, то D(yt) = D(yt-1), тогда D(yt) = β2 D(yt) + σ2 или D(yt) = σ2/(1- β2), что имеет смысл, если |β|<1. Получили, что если |β|<1, то модель (1.2) описывает стационарный временной ряд,

Запишем соотношение (1.2) через процесс белого шума. Для этого перепишем (1.2) для индекса t-1. Получим yt-1 = βyt-2 + t-1. Подставив полученное выражение для yt-1 в (1.2) получим yt = β(βyt-2 + t-1) + t или yt = β2yt-2 + β t-1 + t. Повторив эту процедуру (подставив в последнее выражение yt-2) получим yt = β3yt-3 + β2 t-2 + β t-1 + t и т.д. Окончательно получим (при y0 =0):

yt = βt-1 1 + βt-2 2 +…+ β2 t-2 + β t-1 + t.

Пусть теперь . Тогда

yt = 1 + 2 +…+ t-2 + t-1 + t.

Вычислим дисперсию последнего процесса. Получим D(yt) =tσ2, т.е. дисперсия зависит от времени и процесс, описываемый моделью (1.2) при , не является стационарным. Такие процессы называют процессами случайного блуждания (random walk process). Такое название объясняется тем, что каждое последующее значение уровня такого ряда определяется случайным отклонением от предыдущего: yt = yt-1 + t.

Процесс случайного блуждания отличается от стационарного процесса AR(1) тем, что влияние возмущений t в нём не затухает:

yt = t + t-1 + t-2 + t-3 +…

в то время как в AR(1) их влияние с течением времени затухает (|β| < 1):

yt = t + β t-1 + β2 t-2 + β3 t-3 + … .



Процесс случайного блуждания называют также процессом со стохастическим трендом и записывают yt = .

Если в процесс случайного блужданияyt = yt-1 + t включить константу, т.е. представить его в видеyt = µ + yt-1 + t, то получим случайное блуждание с дрейфом (random walk with drift). Такое название он получил потому, что повторив для этого процесса вышеприведённую процедуру получим

yt = µ t + 1 + 2 +…+ t-2 + t-1 + t.

В этом случае на стохастический тренд накладывается ещё и детерминированный линейный тренд, т.е. yt = µ t + .

Если , то имеем нестационарный случайный процесс взрывного характера и в экономическом анализе такие процессы обычно не рассматриваются.

На рисунке 1.21 приведены примеры временных рядов для рассмотренных случаев. Вверху, слева пример белого шума, справа – пример случайного блуждания (AR(1)-процесс без константы с ). Внизу, справа – пример случайного блуждания с дрейфом (AR(1)-процесс с константой и с ). Внизу, слева – AR(1)-процесс взрывного характера (с β =1,1, т.е. с ).

Рисунок 1.21 – Графики анализируемых рядов

 

Введём понятие лагового оператора L. Если его применить к ряду yt,, то тем самым сдвинем уровень ряда на один такт времени назад, т.е. Lyt = yt-1. Перепишем процесс случайного блуждания с помощью этого оператора: yt = yt-1 + t или yt – yt-1 = t. Далее (с применением оператора сдвига) получим yt – Lyt = t или (1-L)yt = t. Такие процессы называются процессами единичного корня. Этот термин объясняется тем, что у лагового полинома корень равен единице, т.е. корень уравнения β(L) = 0 равен единице (L = 1).

На практике модель случайного блуждания используется для описания относительных показателей, в том числе динамики темпов роста, а процесс случайного блуждания с дрейфом – для описания многих временных рядов, описывающих абсолютные показатели, включая предложение денег и реального валового национального продукта.

‡агрузка...

Следует различать типы стационарных процессов: они могут быть стохастическими и AR(1)-процессами. Визуально их различить проблематично. Так, на рисунке 1.22 приведены графики двух стационарных рядов; слева – белый шум, справа – AR(1)-процесс с параметром β = 0,5.

 

Рисунок 1.22 – Графики анализируемых рядов

 

Рисунок 1.23 – Кореллограммы анализируемых рядов

 

Визуально они действительно мало различимы, но их кореллограммы существенно различаются. В случае белого шума автокорреляции не выходят за пределы доверительной области нуля и соответствующие Q-статистикам вероятности больше 0,05 (левая часть рисунка 1.23). А в случае стационарного AR(1)-процесса автокорреляции и частные автокорреляции (по крайней мере, первого порядка) значимо отличны от нуля и Q-статистика и соответствующие им вероятности отклоняют гипотезу о том, что это белый шум. Но тем не менее этот ряд стационарный.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)