Модель коррекции остатков для нестационарных временных рядов

Как уже обсуждалось, при моделировании зависимости временных рядов на основании уравнения регрессии близость к единице наблюдаемого коэффициента детерминации не обязательно означает наличие причинной связи между ними, а может являться лишь следствием наличия тренда в уровнях обоих рядов.

При этом ложная регрессия (паразитная связь) может возникнуть между временными рядами как с детерминированными, так и со стохастическими трендами. В последнем случае, как правило, вместе с относительно высоким значением коэффициента детерминации наблюдается также крайне низкое значение статистики Дарбина – Уотсона.

Вопрос о ложной или не ложной линейной регрессионной связи между двумя I (1) временными рядами сводится к выяснению, являются ли эти ряды коинтегрированными. Два I (1) временных ряда и называются коинтегрированными, если существует ненулевой (коинтегрирующий) вектор , для которого линейная комбинация является стационарным I (0)-рядом. Известно, что коинтегрирующий вектор определяется с точностью до постоянного множителя, поэтому для выделения определённого вектора вводят условие нормировки, например, рассматривается вектор . Если такой вектор существует, то это значит, что линейная комбинация является стационарным I (0)-рядом. В этом случае уравнение определяет уравнение равновесия рассматриваемых рядов в долгосрочной перспективе, а абсолютная величина может рассматриваться как расстояние, отделяющее систему в момент t от равновесия. Ряд является стационарным рядом с нулевым математическим ожиданием.

Если система коинтегрированных рядов и допускает AR(p) представление, то её можно представить в виде следующей модели коррекции остатков, или ошибок (error correction model – ECM):

(3.1)

,

где – стационарный ряд с нулевым математическим ожиданием, и .

Известно, что в этом случае имеет место причинность по Гренджеру, по крайней мере, в одном направлении. Значение через посредство помогает в прогнозировании значения (т.е. переменная является причиной по Гренджеру для переменной ), если . Значение через посредство помогает в прогнозировании значения (т.е. переменная является причиной по Гренджеру для переменной ), если .

При коинтегрированности I (1)-рядов , имеем:

модель долговременной (равновесной) связи ;

модель краткосрочной динамики в форме ECM,

и эти модели согласуются друг с другом.

Приведём двухшаговую процедуру построения ЕСМ, предложенную Энглом и Гренджером для нестационарных временных рядов.

На первом шаге значения параметров и модели оцениваются обычным МНК и затем находятся оценённые значения отклонений от положения равновесия _t = y_t – – x_t как остатки от оценённой регрессии.

На втором шаге МНК раздельно оцениваются уравнения (3.1), (т.е. предполагается VAR(p) модель для , ). При этом, МНК-оценки стандартных ошибок всех оценок параметров модели являются состоятельными. Проблемы же, возникающие на первом шаге (суперсостоятельность оценок), не являются значимыми, т.к. этот шаг является вспомогательным, зато на втором шаге можно пользоваться обычными статистическими процедурами.

При практическом применении двухшаговой процедуры Энгла–Гренджера ряд остатков _t = y_t – – x_t, полученных на первом шаге, используется не только для оценки ЕСМ на втором шаге, но и для проверки гипотезы о некоинтегрируемости рядов и . При этом надо иметь в виду, что тестируется не «сырой» временной ряд, а ряд остатков, полученных после оценивания модели.

Приведём пример оценки ЕСМ-модели с исходными данными, приведёнными на рисунке 3.4.

Модель коррекции остатков будем строить для р = 2. В общем случае этот показатель определяется из дополнительных исследований. В соответствии с первым шагом двухшаговой процедуры Энгла – Гренджера оценим параметры уравнения долгосрочной связи между этими показателями в виде (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 – Уравнение регрессии равновесной связи

Получили: CS_t = – 192,98 + 0,7056 GDP_t + e_t,

так что z_t = e_t = CS_t + 192,98 – 0,7056 GDP_t.

Рисунок 3.6 – ADF-тест остатков уравнения равновесной связи

Тест на единичный корень (рисунок 3.6) показал, что остатки e_t вроде не- стационарны (гипотеза о единичном корне отклоняется, Prob. = 0,0385).

Но не следует забывать, что мы тестируем не «сырой» временной ряд, а оценённые остатки, а для них, как отмечалось ранее, критическое значение DF - t -статистики равно – 3,34. А расчётное значение этой статистики равно – 2,98, что правее приведённого критического значения. Следовательно, на 5%-ном уровне значимости будем считать, что анализируемые ряды коинтегрированы. Хотя здесь не всё так просто. Например, на основе статистики Дарбина – Уотсона можно сделать вывод, что остатки нестационарны. Но абстрагируемся от этого и будем считать, что можно строить модель коррекции ошибок (остатков).

Модель коррекции остатков в наших предположениях будет строить в виде

GDP_t = µ₁ + α₁ z_t-1 + γ₁₁ GDP_t-1 + γ₁₂ CS_t-1 + e_1t,

CS_t = µ₂ + α₂ z_t-1 + γ2₁ GDP_t-1 + γ2₂ CS_t-1 + e_2t.

Сначала оценим отдельно уравнение для ΔGDP_t. Для этого сохраним остатки уравнения равновесной связи под именем z , а уравнения для ΔGDP_t будем специфицировать в виде: d(GDP) z(– 1) d(GDP(– 1)) d(CS(– 1)) c.

Итак, для первого уравнения получим (рисунок 3.7)

Рисунок 3.7 – Оценка уравнения регрессии для GDP_t

Таким образом, оценённое уравнение регрессии для GDP_t примет вид

_t = 9,96 + 0,125z_t-1 + 0,18 GDP_t-1 + 0,56 CS_t-1.

Все его оценки статистически значимы.

Оценим уравнение регрессии для CS_t. Его спецификация следующая: d(CS) z(– 1) d(GDP(– 1)) d(CS(– 1)) c. Оценка «полного» уравнение имеет вид (рисунок 3.8).

Рисунок 3.8 – Оценка «полного» уравнения регрессии для CS_t

Удалив из этого уравнения незначимые члены с наибольшими значениями Prob., получили (рисунок 3.9).

Рисунок 3.9 – Оценка сокращённого уравнения регрессии для CS_t

Удалив незначимый член D(CS(– 1)), окончательно получим.

Рисунок 3.10 – Оценка уравнения регрессии для CS_t со значимыми членами

Таким образом, оценённое уравнение регрессии для CS_t (рисунок 3.10) примет вид

_t = 12,02 + 0,13 GDP_t-1.

Итак, получили следующую ЕСМ:

_t = 9,96 + 0,125z_t-1 + 0,18 GDP_t-1 + 0,56 CS_t-1.

_t = 12,02 + 0,13 GDP_t-1.

Получили, что коррекция производится только в отношении ряда GDP: при положительных отклонениях от равновесного состояния, т.е. при GDP_t-1 > 281,1 + 1,41CS_t-1, в правой части уравнения для _t корректирующая составляющая z_t-1 – положительная и с учётом знака перед ней действует в сторону уменьшения приращения переменной GDP_t. И наоборот, при отрицательных z_t-1 корректирующая составляющая действует в сторону увеличения приращения переменной GDP_t.

Прошлые значения переменной CS_t через посредство z_t-1 помогают в прогнозировании значения GDP_t т.е. переменная CS_t является причиной по Гренджеру для переменной GDP_t. В то же время прошлые значения переменной GDP_t не помогают прогнозированию значения CS_t, так что GDP_t не является причиной по Гренджеру для переменной CS_t.

Таким образом, получили, что в анализируемом периоде совокупное потребление страны зависит от динамики валового национального продукта, но не наоборот.

Рассчитаем модель коррекции остатков в автоматизированном режиме, используя возможности эконометрического пакета EViews (рисунок 3.1).

Рисунок 3.11 – Отчёт об оценивании ECM в пакете EViews

Получили несколько иные результаты, т.к. здесь не предусмотрена возможность пошагово избавляться от незначимых слагаемых в уравнениях модели коррекции остатков.

Поиск по сайту: