А середній час очікування в стаціонарному стані дорівнює

W = ρ/[μ(1 – ρ)].

У разі наявності С однотипних каналів обслуговування, кожний з яких має експоненційний розподіл часу обслуговування із середнею інтенсивністю μ/с, вигідність такої структури залежить від поведінки вхідного потоку. Якщо прийняти його за пуасонівський із середнею інтенсивністю λ, стаціонарне значення імовірностей P_k того, що зайнято k каналів обслуговування, і середня кількість K зайнятих каналів, мають відповідно наступний вигляд:

P_k = {(Сρ)^k/k!}{e^-Сρ/[E_c(Сρ)]} та K = {СρE_С-1(Сρ)}/{E_c(Сρ)},

де E_c(Сρ) – так звана функція Ерланга. Її загальний вираз має такий вигляд:

E_k(x) = .

Тут прийнято, з урахуванням можливості утворення черг, використання декількох індексів m, q та n, де n –кількість станів системи, або довжина черги, причому при x < k E_k(x) близька до одиниці і значно менше одиниці при x > k.

Таким чином, розподіляючи обслуговуючий механізм на С паралельних ліній (якщо це можливо без втрати ефективності, тобто якщо інтенсивність обслуговування кожної з С ліній буде μ/С), можна зменшити витрати системи. При цьому ймовірність того, що хоча б одна з ліній буде вільна, виявляється більшою, ніж ймовірність наявності вільної системи з однією швидкою лінією обслуговування (з інтенсивністю μ), а тому й більша кількість вільних одиниць “втягується” в систему, хоча вони й відповідно довше будуть простоювати в очікуванні обслуговування, ніж у випадку однолінійної системи. Середня кількість одиниць K в системі при великому значенні С практично дорівнює

Сρ = С(λ/μ) при ρ<1 і дорівнює С, коли ρ>1. Треба зазначити, що якщо вхідний потік є зв'язаним і тому повинен очікувати обслуговування, стан стаціонарної рівноваги системи у значній мірі визначається порядком обслуговування. Якщо черга з одиниць утворюється перед кожною лінією обслуговування і одиниця випадковим шляхом обирає лінію, то така система просто складається з С незалежних однолінійних систем, кожна з яких має експоненційний розподіл часу обслуговування з інтенсивністю μ/С й пуасонівським вхідним потоком з інтенсивністю λ/С. Тому коефіцієнт використання для кожної лінії ρ = λ/μ дорівнює коефіцієнту використання усієї системи. Середня довжина черги у кожній лінії дорівнює L_q = ρ²/(1-ρ), але оскільки існує С таких ліній, повна кількість одиниць, що очікують обслуговування, в С разів більше відповідної кількості для однолінійної системи з тією ж інтенсивністю обслуговування. Аналогічно й середній час очікування у черзі дорівнює (С/λ)L_q, тобто у С разів більше, ніж для однолінійної системи з у С разів більшою інтенсивністю обслуговування. Таким чином, розподіл системи на паралельні лінії не дає жодного виграшу, якщо окремі черги випадковим чином формуються перед кожною лінією. При цьому, якщо одиниці не мають права переходити в іншу чергу, окремі лінії використовуються неефективно: багато з них можуть бути вільними, у той час як перед іншими будуть вишикуватися черги. Практично будь-який інший порядок обслуговування дозволить більш ефективно використати усі С ліній, наприклад, якщо одиниця, яка надходить, може обирати лінію з найменшою чергою і якщо з декількох однакових черг (найменших) вона обирає випадковим чином одну. Найбільш ефективним буде використання однієї загальної черги для усіх С ліній. При цьому стаціонарне значення ймовірності P_q того, що в системі знаходиться q одиниць (у черзі чи в обслуговуючому пристрої) буде, відповідно для випадків 0 q C та С q,

P_q = P₀(Cρ)^q/q! та P₀ρ_qC^C/C!,

повна кількість одиниць в системі L = λW, а довжина черги – відповідно

L_q = L – Cρ.

Звідси витікає, що якщо бажано зменшити час перебування W одиниці в системі (тобто у черзі чи обслуговуючому пристрої), вигідніше використати одну лінію обслуговування із середньою інтенсивністю μ. У той же час, якщо бажано скоротити середню затримку W_q у черзі, то краще використати декілька ліній обслуговування. Розподіл однієї лінії обслуговування на С ліній з інтенсивністю в С разів меншою, скорочує довжину черги й час очікування за рахунок збільшення часу обслуговування. Рішення про слушність такого вибору залежить від того, які характеристики системи обслуговування є важливішими.

Черги у системах масового обслуговування мають місце або у разі систем з відмовами, або систем з обмеженим обсягом простору, який надається для очікування. У першому випадку вимогам, які надходять в момент, коли усі обслуговуючі пристрої зайняті, в обслуговуванні відмовляють і, таким чином, система обслуговування їх втрачає (як це має місце у спробі налагодити телефонний зв’язок, якщо усі лінії зайняті). У другому випадку вимоги, що надходять, мають можливість очікувати обслуговування лише за умовою, що кількість вимог, які вже знаходяться в системі, не перевищує певне фіксоване число (тобто передбачена обмежена кількість місць для очікування). Використовуючи економічні показники, які пов’язані із затримками, якістю обслуговування та рентабельністю системи, можна визначити оптимальні значення обсягу простору для очікування, кількості обслуговуючих пристроїв, коефіцієнту завантаження, інтенсивності обслуговування тощо. Так, для одноканальної системи з економічної точки зору оптимальною є інтенсивність обслуговування, яка витікає з співвідношення

μ^* = λ + ,

де Ss – витрати, пов’язані з роботою одного обслуговуючого пристрою на протязі одиничного інтервалу часу (наприклад, на протязі хвилини), а Sw – вартість очікування будь-якої з вимог на протязі одиничного інтервалу часу. З урахуванням таких самих економічних передумов, що й у наведеному вище прикладі одноканальної системи, оптимальна кількість обслуговуючих пристроїв за умовою пуасонівського потоку вимог відповідає умові

С^* = b₁ + ,

де λ – інтенсивність надходження вимог, а b₁ та b2 – перший та другий моменти довільного розподілу ймовірностей тривалостей обслуговування.

Встановлено, що якщо точно відомо, скільки часу потрібно для обслуговування кожної з вимог, що надійшли, то дисципліною черги, за якою мінімізується середня за весь період обслуговування довжина черги й середня за період функціонування системи тривалість очікування (без права пропускати уперед клієнтів з більш низьким пріоритетом), є дисципліна, що заснована на пріоритеті “першою обслуговується вимога, яку можна обслужити швидше за інших”. Якщо ж дисципліна черги така, що вимога з більш високим пріоритетом має право обслуговуватися за більш низьким пріоритетом, то середня за весь період, що розглядається, довжина черги й середня тривалість очікування мінімізуються за умовою, що клієнт, тривалість обслуговування якого менш за все відрізняється від тривалості обслуговування клієнту з найвищим пріоритетом, має обслуговуватися у першу чергу.

Існує ще один тип задач обслуговування за пріоритетом, коли пріоритет продається обслуговуючою системою й купується клієнтом, причому функція, що визначає сплату за підвищення пріоритету, оптимальна, якщо із збільшенням “нетерплячки” клієнта вона монотонно зростає.

Взагалі, теорія систем масового обслуговування є ефективним засобом оптимального вирішування “задач на вузькі місця”.

1.2.4. Теорія графів. Сіткове планування

Теорія графів – царина дискретної математики, яка займається дослідженням та вирішенням різноманітних проблем, які зв’язані з об’єктом, що має назву граф й визначається завданням двох множин – множини V верхівок графа, яка зображується у вигляді точок на площині або у просторі, та множини E пар елементів з V. Кожний елемент множини E визначає пару верхівок, між якими існує зв’язок. Вона (ця пара) може відображуватися як лінія, що поєднує відповідні верхівки, причому ця лінія має проходити лише через ті верхівки, які вона поєднує, а різні лінії можуть перехрещуватися лише в верхівках. Якщо в парах, що складають множину E, зазначають верхівку, яка є першою (тобто у якому напрямку відбувається зв’язок), то граф звуть орієнтованим, а елементи множини E – дугами. У протилежному випадку граф – неорієнтований, а елементи E звуться ребрами.

В теорії графів зустрічаються, головним чином, з двома формулюваннями задач. У першому випадку треба відповісти на питання, чи існують об’єкти, які мають певну властивість, і якщо це так, то скільки їх або яка їхня максимально можлива кількість. У другому випадку треба визначити, як побудувати граф чи підграф, який має певні властивості. Іноді задаються умови, яким повинен задовольняти той чи інший граф, щоб мати певні властивості.

З властивостей графа витікає цікава задача щодо організації ефективного руху міського транспорту (а це, по суті, вирішення проблеми не тільки мінімізації техногенного навантаження на екосистему міст, але й проблеми мінімізації витрат пального). Вона пов’язана з вибором вулиць для однобічного та двобічного руху: однобічний рух слід організувати на максимально можливій кількості вулиць. Умови, яким повинна задовольняти схема руху по вулицям, щоб будь-які два пункти міста були взаємно досяжні, полягають у тому, щоб на усіх вулицям, які належать до контурів, було організовано однобічний рух, а усі вулиці, які не належать до контурів, використалися б для двобічного руху

Найбільш широке застосування методи теорії графів отримали при вирішенні проблем планування й транспортних проблем. У практиці комунального господарства весь час приходиться мати справу з розробкою тих чи інших проектів, програм, займатися організаційним керуванням галуззю, чи тією або іншою підгалуззю. Усе це є прямим обов'язком менеджерів і може виконуватися лише за умовою адекватного планування. Одним з найбільш зручних, наочних та ефективних методів такого планування є сітьове планування (СП). Метод СП гранично простий. Він поділяється на три етапи:

· Складання мережі подій від поточного моменту часу до моменту закінчення програми;

· Оцінювання часу виконання кожної операції в мережі;

· Аналіз шляхом простих підрахунків можливості виконання робіт, що намічені, у межах визначеного терміну.

Метод СП не дає відповіді на питання, як вирішувати проблеми, що виникають в результаті аналізу – це справа керівника проекту.

СП являє собою сукупність методів дослідження операцій, які будуються на використанні моделей комплексів (проектів, розробок, програм тощо). Поняття комплексу у самому загальному розумінні цього терміну визначає процес досягнення певної мети, яка може бути відображена як скінчена частково упорядкована множина операцій (робіт). Для представлення операцій та векторів їхнього виконання використовують орієнтовані графи, тобто упорядковані пари (V, E), де V - непуста множина верхівок графа (вузлів мережі), а Е – упорядковані бінарні відносини на V, які мають назву дуг, причому послідовність дуг зветься маршрутом. Графічне відображення найбільш поширеного типу моделей мереж, які звуться кон'юнктивними чи канонічними моделями мережі, має вигляд, що дійсно нагадує сітку. Вузли сітки (верхівки графа) відображують суттєві результати виконання операцій (робіт), що входять до цієї верхівки, й, одночасно, визначають необхідні й достатні умови можливості початку робіт (операцій), що виходять з цієї верхівки. Така змістовна інтерпретація верхівок мережевої моделі, які позначаються звичайно колами, отримала назву подій. Дуги графа мережевої моделі відображують операції, які розглядаються як реальні процеси, для виконання котрих витрачаються певні ресурси та час, або як процеси, що вимагають тільки витрат часу, або, нарешті, як логічні взаємозв'язки, які не вимагають ні ресурсів ані часу, але грають принципову роль для адекватного представлення структури комплексу. Останні операції отримали назву фіктивних. Таким чином мережева модель будується з елементів двох типів, будь-яка послідовність яких створює маршрут. Довжина маршруту визначається сумою довжин (тривалості) операцій, що входять до цього маршруту. Довжини м (тривалості) позначаються числами, що стоять поряд із відповідними дугами. Маршрутмаксимальноїдовжини, який пов'язує початкову та кінцеву події мережі, має назву критичного. Усі операції, що не належать до критичного маршруту, можна зсувати у часі у межах їхніх резервів часу, не збільшуючи при цьому загальної тривалості комплексу. Ця властивість широко використовується у разі визначення планових строків початку операцій з урахуванням наявності ресурсів та міркувань надійності виконання плану, що формується. Сітьова модель не обов'язково відображується у вигляді креслення. Вона може бути однозначно визначена різноманітними матрицями (у яких рядки з верху до долу відповідають послідовним номерам подій, а у стовпцях, які також відповідають послідовним номерам подій, одиницями зазначають факти зв'язку даної події з відповідними іншими, а нулями - відсутність такого зв'язку), таблицями та системами нерівності.

Головними правилами побудови будь-якої мережі є такі:

- ніякі дві роботи не можуть бути ідентифіковані тими ж самими подіями, тобто з будь-якого вузла не можуть вийти дві паралельні роботи, які обидві одночасно завершуються у наступному вузлі (з метою забезпечення однозначності подій, пов'язаних із завершенням робіт, іноді використовують так звану фіктивну роботу, яка не потребує ні згаданим вище наступним вузлом фіктивною роботою);

- співвідношення "попередній-наступний" повинні дотримуватися на протязі усієї мережі.

Критичними вважаються роботи, затримка яких призводить до еквівалентної затримки завершення робіт усього проекту. Шлях крізь мережу, який складається цілком з таких робіт, звуть критичним маршрутом. Критичний маршрут визначається як маршрут з нульовим резервом часу, де резерв часу - це кількість часу, на протязі якого робота може затримуватися, не викликаючи збільшення часу до настання події завершення проекту. Для розрахунку резервного часу спочатку слід виконати розрахунок мережі від початку до кінця й отримати оцінки самого раннього початку кожної роботи у кожному вузлі мережі. Щоб визначити час самого пізнього завершення кожної роботи виконують розрахунок мережі у зворотному напрямку - від кінця до початку. Загальний резерв часу для кожної роботи знаходять як різницю між часом, який знаходиться у розпорядженні й тривалістю роботи.

Розрахунок при проходженні мережі у прямому напрямку відбувається за наступним алгоритмом:

ES_i = max_k{ES_k + t_ki}, i = 2,..., n,

де і - номер вузла, t_ki - тривалість (k - 1)-ї роботи, ES₁ = 0, ES[i] – самий ранній час початку усіх робіт, яким передує і-й вузол.

Розрахунок при проходженні у зворотному напрямку відбувається за алгоритмом

LF_j = min_k{LF_k - t_jk}, j = 1, 2,..., n-1,

де j - вузли, LF_j - найпізніший (припустимий) час закінчення усіх робіт, що завершуються у j-му вузлі, LF_n = ES_n - для вузла мережі, що відповідає завершенню проекту.

Загальний резерв часу обчислюється за допомогою наступного виразу:

TF_ij = LF_j - ES_i - t_ij,

причому LS_ij = LF_j - t_ij, а EF_ij = ES_i + t_ij, де LS_ij - самий пізній час початку, а EF[ij] - самий ранішній час закінчення (i-j)-ї роботи, так що можна записати наступні рівняння:

TF_ij = LS_ij - ES_i

TF_ij = LF_j - EF_ij.

Наслідки прямого й зворотного підрахунків, а також резервний час для проекту можуть бути представлені у таблиці, в якій для кожної роботи наведені її тривалість, самий ранній час (початку й кінця роботи), самий пізній час (початку й кінця роботи), загальний резерв часу (який отримується за умовою незалежного розглядання кожної роботи).

Приклад сітьового графіку виконання певного проекту наведений на рис.1.4, а часові характеристики цього графіку - у Табл.1.2

Рис.1.4

Сітьовий графік

	Час

- тривалість роботи; - самий пізній час виконання,

критичний маршрут

Апарат СП призначений для вирішення двох головних проблем:

- формування календарного плану реалізації комплексу;

- прийняття ефективних рішень у процесі виконання цього плану.

Ефект, який досягається за рахунок СП, обумовлений у першу чергу внесенням жорстких логічних елементів у формування плану, які дозволяють залучити до аналізу й синтезу планів сучасний математичний апарат й засоби обчислювальної техніки. СП - досить універсальний апарат, який може використатися для формування планів у таких галузях, як будівництво житла й інших споруд, а також шляхів, літако- й суднобудування, комунальне господарство тощо.

СП можна використати як для вирішення індивідуальних проблем керівників будь-якого рівня, так і для створення великих складних систем (наприклад, транспортної мережі міста, включаючи й приміське сполучення, системи водо- та теплопостачання, розбудови метрополітену тощо).

Підгрунтям СП, як вже було зазначено вище, є розбудова структурної мережі комплексу, яка визначає (з потрібною ступінню деталізації) склад операцій комплексу й логічні взаємозв'язки між ними у часі. Піддаються аналізу на змістовному рівні необхідні й достатні умови початку будь-якої операції, яка залучена до мережі. Вибір складу самих операцій й ступеня їхньої деталізації вирішується в залежності від природи комплексу, що розглядається, та конкретних задач планування, які цікавлять керівництво організації чи груп організацій (підприємств), призначених реалізувати комплекс. У ряді випадків до мережі залучаються операції, які відображують створення ресурсів, необхідних для реалізації комплексу, але таких, що не знаходяться у межах компетенції організацій, які виконують комплекс. В інших випадках такі операції не включаються до мережі. Після визначення (або завдання) числових оцінок параметрів (таких як тривалість операцій,

Таблиця 1.2

Часові характеристики сітьового графіку

(*) - Ці роботи, за визначенням, належать до критичного маршруту

потреби у ресурсах, необхідних для виконання операцій тощо) розроблений вихідний варіант мережі піддається аналізу, у результаті чого виявляється, чи задовольняє цей варіант обмеженням, які задані заздалегідь. У разі, коли ці обмеження не виконуються,результати аналізу дозволяють робити ті чи інші зміни у первісному варіанті плану. Ефект, який досягнуто за рахунок змін, що внесені, має бути оцінений за допомогою повторного аналізу: відбувається, так би мовити, "програвання" рішень на мережі. Подібні ітерації продовжуються до того моменту, поки не буде отримано варіант плану, який задовольняє вимогам, або не буде встановлено, що усі можливості покращення плану вичерпані й умови, які були сформульовані у завданні на комплекс, не можуть бути виконані.

На мережах комплексів вирішуються оптимізаційні задачі двох класів:

- мінімізації тривалості комплексу з урахуванням обмежень на ресурси;

- оптимального використання ресурсів за умовою незмінної тривалості комплексу.

Механізм використання СП на стадії реалізації комплексу зводиться до регулярного збирання інформації про його фактичний стан на момент часу, що розглядається, та про зміни, які прогнозуються на відтинок часу, що планується, по відношенню до варіанту плану, що виконується. Отримана інформація обробляється на моделі мережі з метою формування планових завдань на черговий відтинок часу.

На підставі СП будуються системи організаційного керування, що можуть охоплювати усю діяльність організації, мати функціональний характер (наприклад, підсистема підготовки виробництва), або відноситися до окремих комплексів. Сітьові системи у порівнянні з традиційними системами організаційного керування характеризуються значно чіткішими алгоритмами функціонування як у режимі вихідного планування, так і у режимі оперативного керування.

1.2.5. теорія корисності

При вирішенні проблем ліквідації “вузьких місць” завжди треба враховувати цілі, бажання й нужди тих, хто зацікавлений у цьому (маються на увазі не тільки ті, хто керує процесом, усуває проблему, але й ті, хто є “суб'єктами» цих “вузьких місць”, тобто безпосередньо піддається їхньому впливу), тобто визначати корисність тих чи інших кроків, дій, рішень. Тому важливо дослідити основи розбудови процедур для визначення переваг у кількісній форми, що має важливе значення для осіб, що приймають рішення (ОПР). Термін “ корисність ” має два значення:

· Якісна, або порівняльна, оцінка, що характеризується такими ствердженнями, як “Я ціную це більш, ніж те” або “Я вважаю, що х має перевагу над y”.

· Кількісна оцінка, що виражає за допомогою числа певну перевагу.

Враховуючи таку подвійність для відображення якісної характеристики об’єкту звичайно використовують термін “перевага”, у той час, як для кількісного представлення переваг використовують термін “корисність”.

Теорія корисності (переваг) витікає з двох гіпотез:

Вважається, що множина, яка розглядається як множина варіантів рішення, стратегій або способів поведінки, не є пустою (хоча вона може містити у собі неприпустимі альтернативи, що обумовлено тим, що важко ідентифікувати усі припустимі альтернативи за допомогою певної простої процедури, або тому, що деякі неприпустимі альтернативи можуть стати у нагоді підчас вимірювання або масштабування корисності);

Передбачається бінарність переваг, що знаходить відображення у введенні відношення “перевага – або – байдужність” (“нестрога перевага”) на множині альтернатив.

Бінарне відношення R на не пустій множині Х є підмножиною множини усіх упорядкованих пар елементів з Х і являє собою фундаментальне поняття теорії переваг. Множина усіх упорядкованих пар задається прямим добутком ХxХ = {(x, y): x ∈ X, y ∈ X}. Запис xRy (тобто х знаходиться у відношенні R до у) означає, що (х, у) належить R, у той час як запис “ не xRy” (або ) означає, що (х, у) не належить R, або що х не знаходиться у відношенні R до у.

Існує чотири групи властивостей бінарних відношень. Бінарне відношення R на множині Х може бути:

· Рефлексивним, якщо xRx для кожного х∈Х, або нерефлексивним, якщо

не xRx (або ) для кожного х∈Х;

· Симетричним, якщо з xRy випливає yRx, або асиметричним, якщо з xRy випливає не yRx (або );

· Транзитивним, якщо з xRy i yRz випливає xRz, або негативно транзитивним, якщо з не xRy (або ) i не yRz (або ) випливає не xRz (або );

· Зв’язним, якщоxRy чи yRx, або слабко зв’язним, якщо з х ≠ у випливає xRy або yRx.

В теорії переваг використовуються два головних бінарних відношення на множині Х:

· Відношення нестрогої переваги ≿ (зв’язне), коли х ≿ у трактується як таке, де х або має переваги над у, або байдужий до у;

· Відношення переваги ≻ (асиметричне), коли х ≻ у трактується як таке, де х має переваги над у.

Бінарне відношення не дозволяє чітко спрямувати вибір між кількома альтернативами, коли кожна з них є менш краща, ніж деяка інша.

Таким чином, теорія вибору, яка б могла одразу урахувати й вирішити циклічні переваги, повинна бути “багатіше” й “глибше” ніж прості бінарні відношення. Нажаль, така теорія для довільного (загального) випадку ще не створена - є лише часткові результати для вирішення конкретних проблем вибору. Але й те, що вже зроблено, дає змогу відтворювати функції корисності і приймати достатньо слушні рішення.

Функцією корисності u звуть таку речовинну функцію для відношення переваги, що визначена на Х, яка забезпечує х ≻ у, якщо u(x) > u(y) для будь-яких х та у. Досконалою функцією корисності для відношення переваги на Х при цьому звуть таку функцію у разі, якщо для усіх х та у з Х справедлива нерівність u(x) > u(y) виключно за умовою, коли х ≻ у.

Бінарне відношення ≺ є слабко упорядкованим, якщо відношення ≻ та ∼ транзитивні, і, у свою чергу, відношення ≻ є слабко упорядкованим, якщо воно від’ємно транзитивне й асиметричне. Оскільки відношення ∼ транзитивно, воно є відношенням еквівалентності (транзитивним, симетричним, рефлексивним) і може бути використано для розподілу множини Х на класи еквівалентності, або класи байдужності. Класи байдужності в Х збігаються з підмножинами альтернатив, які мають однакову корисність. Такі класи байдужності звуться контурами рівної корисності. Ці контури являють собою криві, на кожній з яких будь-які дві точки знаходяться у відношенні байдужності, а перевага зростає по мірі віддалення від початку координат. У разі великої розмірності класи байдужності звуться поверхнями байдужності або поверхнями обміну. Набір траєкторій байдужності економісти звуть “картами байдужності”.

Звичайно, в реальних обставинах доводиться мати справу з очікуваною корисністю. Припускається, що бінарне відношення переваги визначено на множині P усіх простих розподілів ймовірностей p, q,…, які задані на непустій множині Х. Елементами Х можуть бути чисті стратегії чи альтернативи, або вони можуть представляти собою результати чи наслідки деяких рішень, що приймаються у ситуаціях, які містять у собі елемент ризику; ймовірності таких результатів описуються певним розподілом з Р. Простим розподілом ймовірностей р звуть речову функцію Р, яка приймає позитивні значення на більшості елементів х з кінцевої множини Х, причому сума усіх значень р(х) дорівнює одиниці. Розподіли з Р в залежності від контексту звуться ставками, іграми, лотереями, альтернативами ризику, змішаними стратегіями, рандомізованими стратегіями. Для будь-яких розподілів р та q з Р вираз

αр + (1 – α)q зветься прямою лінійною комбінацією розподілів р та q, де α – дійсне число, яке знаходиться у межах 0,0 – 1,0. Таким чином, якщо r = αp + (1 – α)q, то r(x) = αp(x) + (1 – α)q(x) для будь-якого х з Х. Якщо р і q належать Р і 0 ≤ α ≤ 1, то αp + (1 – α)q також належить Р.

Корисність р дорівнює математичному очікуванню додаткової (допоміжної) функції v(х) = u(p) (за умовою, що р(х) = 1) з розподілом ймовірностей р, який задано на Х. Якщо розглядати v(x) як корисність результату, то вираз

u(p) = p(x₁)v(x₁) + … + p(x_n)v(х_n)

може свідчити про те, що корисність певної альтернативи (з елементом ризику) дорівнює очікуваній корисності для результатів, які можуть мати місце при використанні цієї альтернативи.

Співвідношення * можна використати при масштабуванні й обчисленні корисності.

В економіці й математичній психології головним поняттям (замість поняття переваги) є “ вибір ”, тому у цих сферах діяльності визначають функцію вибору (детерміновану або імовірнісну), яка задана на підмножині альтернатив.

Теорія корисності може знайти ефективне використання у першу чергу при вирішенні задач з великою кількістю чинників та критеріїв, а також у разі прийняття рішень в умовах невизначеності.

1.2.6. Методи нижньої оцінки

Якщо під час оцінювання існує неоднозначність, обумовлена використанням різних методів, виникає проблема встановлення меж, у середині яких може існувати істинна оцінка. Крім зазначених вище довірчих інтервалів, користуються таким підходом, який отримав назву методу нижньої оцінки. Спочатку визначають максимальну область можливого знаходження результатів, тобто область, в якій імовірність існування результатів досліджень наближається до одиниці. Потім відбувається оцінювання різними методами, тобто визначаються області, в яких може знаходитися результат, що відповідає даному методу досліджень. Якщо усі області знаходження (існування) рішень перехрещуються одна з одною, областю найбільш імовірної оцінки можна вважати ту множину оцінок, яка належить одночасно кожній з окремих областей знаходження результатів. Інакше кажучи, найбільш вірогідна оцінка в результаті має такий вигляд:

,

деN – інформація, що підлягає оцінюванню, f – множина елементів, за допомогою яких оцінюється ця інформація, e - наближення в оцінюванні, що припускається для цього методу, S_i – множина результатів наближення, min – оператор багатозначної логіки, який відповідає нижній оцінці, згідно з якою вірогідною є така область оцінювань, де збігаються (перехрещуються) усі локальні (окремі) оцінки. Зазначене вище ілюструється прикладом на рис.1.5.

Після аналізу і оцінки результатів необхідно їх коротко підсумувати. При цьому слід зазначити особливості і головні деталі аналізу й оцінювання, виявити відповідність між результатами дослідження і планом експерименту, який був складений заздалегідь, зафіксувати зміни порівнянно з попередніми розрахунками. Висновок повинен бути ясним і базуватися на отриманих в результаті досліджень даних і логічної їх інтерпретації.

Поиск по сайту: