Для многофакторных экспериментов

4.3.1.Случай линейной регрессионной модели с k варьируемыми факторами. Регрессионная модель здесь имеет вид (4.2). Значения факторов, принимаемые в каждом опыте, можно свести в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Таблицы, составленные по представленному типу, в которых записаны условия опытов, называют матрицами планов. Прежде чем проводить вычисления, запишем регрессионную модель (4.2) в более симметричном виде, введя фиктивный фактор Х ₀:

(4.17)

В связи с этим дополним матрицу плана в табл. 4.3, введя в нее столбец значений фиктивного фактора Х ₀и сформируем новую табл. 4.4

Таблица 4.4

Теперь каждому слагаемому модели (4.17) соответствует определенный столбец этой матрицы: слагаемому В ₀ Х ₀ – столбец Х ₀, слагаемому В ₁ Х ₁– столбец Х ₁ и т.д. Такая матрица называется матрицей базисных функций. В табл. 4.4, таким образом, построена матрица базисных функций модели (4.17) для плана в табл. 4.3.

Для отыскания коэффициентов регрессии В ₀, В ₁, В ₂ ,…, В_k модели (4.17) необходимо проделать выкладки, аналогичные тем, которые были проведены выше для получения коэффициентов В ₀ и В ₁ линейной модели с единственным фактором. Опуская их, приведем промежуточный результат – систему нормальных уравнений:

(4.18)

Система (4.18) построена по тому же принципу, что и система нормальных уравнений (4.10) для линейной однофакторной модели. Ее легко написать, имея матрицу базисных функций (табл. 4.4).

Отметим, что число уравнений этой системы равно числу коэффициентов регрессии, подлежащих определению, т.е. в данном случае k + 1. Ясно также, что в случае применения метода наименьших квадратов число опытов N должно быть не меньше числа p оцениваемых коэффициентов регрессии N ≥ p. План, для которого p = N, называется насыщенным планом. Насыщенные планы не позволяют проверить адекватность математической модели. План, для которого p < N, называется ненасыщенным.

Расчет коэффициентов регрессии и интерпретация результатов эксперимента существенно упрощаются, если преобразовать все факторы в безразмерные параметры, варьируемые в одинаковых диапазонах. Это можно сделать, введя нормализованные обозначения факторов. Пусть в эксперименте варьируются k факторов и Х_i – любой из них: i = 1,2, …, k. Его диапазон варьирования Х_{i min} ≤ Х_i ≤ Х_{i max}. Величина Х_{i max} называется верхним уровнем фактора Х_i, а величина Х_{i min} – его нижним уровнем. Середину диапазона варьирования фактора Х_i назовем его основным уровнем и обозначим , = (Х_{i min} + Х_{i max})/2. Разность ∆ _I = Х_{i max} – = – – Х_{i min} называется интервалом варьирования фактора Х_i.

Сопоставим теперь произвольному фактору Х_i его нормализованное обозначение x_i , котороеопределяется по формуле

. (4.19)

Введение нормализованных обозначений факторов по формуле (4.19) удобно по ряду причин. Можно заметить, что независимо от диапазона варьирования любого фактора его нижнему уровню соответствует (–1) в нормализованных обозначениях, верхнему уровню – (+1), основному – 0. Математическая модель объекта, записанная в нормализованных обозначениях факторов, позволяет облегчить интерпретацию результатов, поскольку диапазоны варьирования всех факторов оказываются одинаковыми и равными (–1), (+1), а все коэффициенты уравнения регрессии имеют одинаковую размерность. Это дает возможность, например, сравнивать степень влияния факторов непосредственно по абсолютным величинам коэффициентов регрессии линейной модели.

Пример. Покажем, как были обработаны результаты эксперимента в п. 3.1 (в нем исследовалось влияние влажности W = X ₁ и температуры t = X ₂на прорастание семян ржи l = y, мм).

Построим матрицу базисных функций линейной модели, дополнив матрицу в табл. 3.1 столбцом X ₀ сформировав таблицы 4.5 и 4.6.

Таблица 4.5

Матрица плана

Таблица 4.6

Матрица плана с нормализованными факторами

Согласно экспериментальному плану фактор X ₁ варьируется на верхнем, нижнем и основном уровне, а фактор X ₂ – только на верхнем и нижнем уровне.

Перейдем к нормализованным факторам. Распишем сначала формулы (4.19) для каждого из варьируемых факторов: X _1min = 6 %, X _1max = 30 %, X ₁⁰ = (6+30)/2 = 18 %, ∆₁ = 18 – 6 = 12 %. В этом случае формула (4.19) для первого фактора имеет вид . Аналогичным образом формула, связывающая нормализованные и натуральные обозначения для второго фактора, запишется в виде .

Перепишем матрицу базисных функций в нормализованных обозначениях факторов; она приведена в столбцах 2–4 табл. 4.6.

Для составления системы нормальных уравнений необходимо вычислить суммы произведений элементов каждой пары столбцов (см. систему (4.18)):

Теперь система нормальных уравнений (4.18), записанная для нормализованных факторов, сводится к виду: 6 b ₀ = 31,2; 4 b ₁ = = –11,54; 6 b ₂ = –3,8, откуда b ₀ = 5,2; b ₁ = –2,87; b ₂ = –0,63. Таким образом, получена следующая линейная модель для нормализованных факторов y = 5,2 – 2,87 x ₁ – 0,63 x ₂.

Для иллюстрации точности, с которой построенная модель предсказывает результаты эксперимента, в последнем столбце табл. 4.6 приведены значения отклика ŷ, рассчитанные по уравнению регрессии для каждого опыта. При переходе к натуральным факторам следует воспользоваться полученными выше формулами, связывающими нормализованные и натуральные обозначения факторов. Подставив в найденное уравнение регрессии значения и , получим:

.

После преобразований будем иметь математическую модель в натуральных обозначениях факторов:

y = 11,4 – 0,24 Х ₁ – 0,0315 Х ₂.

Составление системы нормальных уравнений для регрессионных моделей в виде многочленов порядка выше первого. Идея обобщения метода наименьших квадратов на этот случай заключается в том, что любое произведение факторов, или их степень можно рассматривать в качестве нового фактора. Пусть, например, экспериментатор, исследуя влияние трех факторов на экологический объект, решил задаться моделью

Заменим члены второго и более высокого порядков новыми линейными членами

В результате исходная модель заменена линейной с пятью факторами. Таким образом, данный случай сводится к предыдущему.

Для того чтобы выписать систему нормальных уравнений, аналогичным образом составляем матрицу базисных функций по типу табл. 4.4. Каждому слагаемому модели должен соответствовать определенный столбец матрицы. Поэтому она включает все степени и произведения факторов, которые фигурируют в модели (табл. 4.7).

С помощью этой таблицы можно составить систему нормальных уравнений.

Таблица 4.7

матрица базисных функций

Номер опыта	Х 0	Х 1	X 2			Х 1 Х 2
		Х 11	Х 21			Х 11, Х 21
		Х 12	Х 22			Х 12, Х 22
...	…	…	…	…	…	…
...	....	…	…	…	…	…
...	...	…	…	…	…	…
N		Х 1 N	Х 2 N			Х 1 N Х 2 N

Пример. На шести образцах разных размеров из хвойной древесины проверялась их усушка до конечной влажности 20 %. Необходимо установить зависимость величины усушки образца от его размера.

Опишем эту зависимость, с учетом априорной информации, уравнением параболы найдя коэффициенты В ₀, В ₁, В ₁₁ по методу наименьших квадратов. В табл. 4.8 построена матрица базисных функций этой модели, дополненная столбцом значений выходной величины.

Таблица 4.8

матрица базисных функций для моделей примера

Номер опыта	Х 0	Х 1		y, мм	ŷ, мм
				0,6 0,6 0,7 0,8 1,0 1,2	0,57 0,64 0,71 0,80 0,98 1,21

Для этого случая получим следующую систему нормальных уравнений:

Решив систему, найдем значения коэффициентов регрессии: В ₀ = = 0,225; В ₁ = 0,0193; В ₃ = 0,000125. Отсюда искомая модель имеет вид: y = 0,225 + 0,0193 Х ₁ + 0,000125 .

Для иллюстрации в последнем столбце табл. 4.8 приведены значения отклика ŷ, рассчитанные по уравнению регрессии для каждого опыта.

Обобщение МНК на случай регрессионных моделей произвольного вида, линейных по параметрам. Рассмотренное выше обобщение МНК применимо и для регрессионных моделей произвольного вида при условии, что коэффициенты регрессии входят в них линейно. Так, модель

легко сводится к линейному случаю введением новых факторов

В результате имеем линейную модель с четырьмя факторами

Таким образом, сначала ставится эксперимент по некоторому плану. Далее по общему правилу составляют матрицу базисных функций, приведенную в табл. 4.9. На ее основе записывают и решают систему нормальных уравнений с четырьмя неизвестными В ₀, В ₁, В ₂, В ₃.

Таблица 4.9

матрица базисных функций

Номер опыта
	Х 01
	Х 02
...	…	...	...	...	...
N

Рассмотрим некоторые примеры. Зависимость видового числа y от коэффициента формы Х и высоты ствола дерева h отыскивается в виде Заменой эта зависимость сводится к линейной зависимости вида

Другой пример. Для вычисления объема ствола дерева V применяется формула

где f – видовое число; d – диаметр дерева на высоте груди; h – высота ствола. Замена сводит этот случай к линейной однофакторной модели.

Расчет коэффициентов регрессии, как правило, осложняется, если они входят в уравнение регрессии нелинейно. Например, применение метода наименьших квадратов для модели вида

представляет сложную задачу. Следуя идее метода наименьших квадратов, нетрудно выписать функцию, минимизирующую сумму квадратов отклонений, взять от нее производные по В_i и приравнять их нулю. Но полученная система уравнений линейной уже не будет, а, значит, для решения ее надо выбирать специальные методы.

Однако в ряде случаев модели, нелинейные по параметрам, сводят к линейным с помощью простых преобразований. Так, в теории тепломассообмена широко применяются эмпирические формулы в виде произведения степенных функций

.

Применение ЭВМ для расчета коэффициентов регрессионной модели. Систему уравнений (4.18) можно решить вручную, без применения компьютерных программных средств, если число неизвестных в ней не более трех. В математическом обеспечении компьютера имеются стандартные программы регрессионного анализа и статистической обработки экспериментальных данных, которые позволяют получать уравнения регрессии, не вникая в алгоритм и его программной реализации, для многофакторных моделей. Однако для качественного анализа построения уравнения регрессии с целью применения его для прогнозирования, определения роли различных факторов, оптимизации процесса исследования объектов и т.д. целесообразно рассмотреть алгоритм численной реализации решения системы уравнений для многофакторной модели.

Запишем систему нормальных уравнений в матричной форме [6]. Все выкладки справедливы для натуральных и нормализованных обозначений факторов. Пусть поставлен эксперимент согласно матрице плана в табл. 4.3. Поскольку применение МНК для моделей в виде многочленов любого порядка сводится к линейному случаю, обратимся к линейной модели (4.17) и матрице базисных функций в табл. 4.4.

Перепишем данные из табл. 4.4 в виде матрицы. Термин «матрица» употребляется здесь уже в математическом смысле – как таблица из идентификаторов или цифр, содержащая в общем случае n строк и m столбцов.

В таблице 4.10 приведена матрица базисных функций размеров . Результаты эксперимента также выпишем в отдельный столбец:

Аналогично можно выписать в отдельный столбец искомые коэффициенты регрессии:

Столбец, а также строку можно считать частным случаем матрицы. Так, столбец Y можно рассматривать как матрицу размеров а столбец B – как матрицу размеров .

Оперируя введенными терминами, можно сказать, что определение коэффициентов регрессии по результатам эксперимента эквивалентно нахождению столбца В по известной матрице Х и столбцу Y. Согласно [6]

(4.20)

Таким образом, согласно формуле (4.20) для вычисления столбца коэффициентов регрессии B надо выполнить следующие операции: транспонировать матрицу Х; полученную в результате матрицу Х^Т следует умножить на матрицу Х; от полученной матрицы Х^ТХ взять обратную; найденную матрицу (Х^ТХ)^-1 надо умножить на Х^Т, а результат – на столбец Y.

Поиск по сайту: