 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Определение необходимого объема выборки. Пусть требуется найти минимальное число n повторений опытов, при котором среднее арифметическое уср
Пусть требуется найти минимальное число n повторений опытов, при котором среднее арифметическое у ср, найденное по этой выборке, отличалось бы от математического ожидания не более чем на заданную величину ∆. По сути, это – задача, обратная предыдущей. Для ее решения необходимо знать оценку дисперсии s 2. Здесь можно использовать, например, результаты проведенных ранее исследований. Искомое значение n определяется по формуле
(1.14)
Величину t отыскивают по табл. 1.1 при уровне значимости q и числе степеней свободы f, связанном с оценкой дисперсии s 2. Если эта дисперсия найдена по выборке объема, большего 120, то вместо величины t в формуле (1.14) можно пользоваться величиной T, зависящей только от уровня значимости q:
| q | 0,2 | 0,1 | 0,05 | 0,01 | 0,005 |
| Τ | 1,28 | 1,64 | 1,96 | 2,58 | 2,81 |
Формулу (1.14) можно преобразовать следующим образом. Поделим числитель и знаменатель на у 2. Обозначим через e величину (∆/ y ср)·100 %. Это выражение представляет собой относительную допускаемую ошибку. Учитывая, что отношение (s/y) % – это, по определению, коэффициент вариации n, получим
(1.15)
Пример. На основе результатов измерений количества частиц на фильтрах, приведенных в табл. 1.2, найти необходимый объем выборки, при котором среднее отличалось бы от математического ожидания не более чем на D = 50 частиц с доверительной вероятностью p = 0,95.
Таблица 1.2
Количество частиц на исследуемых фильтрах
| №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 |
| 760 940 1110 766 615 502 708 618 560 552 960 1210 760 1010 850 790 535 517 629 618 428 560 1260 825 460 454 847 795 500 720 605 535 485 860 613 825 461 685 844 893 740 730 725 510 652 864 1070 860 430 910 942 1120 758 619 775 734 675 560 412 952 651 950 1236 835 785 623 780 741 602 565 1160 1264 668 910 545 830 802 510 880 717 610 495 452 660 602 554 852 900 1034 702 1117 740 523 456 552 950 |
Для определения необходимого объема выборки воспользуемся формулой (1.15), причем вместо t можно подставить в нее значение T. Данной величине p соответствует уровень значимости q = 1 – p = = 0,05. Соответствующее значение T = 1,96.
По данным табл. 1.2 вычислим среднее значение y и оценку дисперсии s 2: у ср= 750, 
= 41616. Тогда согласно формуле (1.16) имеем: n = (1,962·41616) / 502 ≈ 64.
В изложенном далее материале широко используются процедуры проверки статистических гипотез. Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности, проверяемой по выборке. Например, гипотеза об однородности средних или дисперсии, о законе распределения и т.д. Проверка статистической гипотезы – это процедура, по результатам которой гипотеза принимается или отбрасывается.
Проверка статистических гипотез связана с такими распространенными задачами, как сравнительная оценка различных технологических процессов по их производительности, точности, экономичности или сравнение конструктивных особенностей машин и приборов. В планировании эксперимента проверка статистических гипотез позволяет правильно оценить преимущества одной модели перед другой, выявить наиболее значимые факторы, влияющие на данное явление, а также убедиться в пригодности (адекватности) полученного математического описания процесса.
Выдвинутую гипотезу называют основной, или нулевой. Гипотезу, противоречащую нулевой, называют альтернативной. Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, распределение которой известно. Ее называют статистическим критерием. Например, при проверке гипотезы об однородности дисперсий в качестве критерия используют отношение выборочных дисперсий, которое подчиняется статистическому распределению Фишера.
Для проверки статистической гипотезы вычисляют значение критерия по имеющимся опытным данным. Если оно находится внутри некоторой заданной заранее области, называемой областью принятия гипотезы (областью допустимых значений), то нулевая гипотеза принимается. В противоположном случае значение критерия попадает в критическую область, и тогда гипотеза отвергается.
Однако попадание критерия в область допустимых значений не дает права категорически утверждать, что гипотеза полностью подтвердилась. Можно только заключить, что по данным выборки значение критерия не противоречит гипотезе, поэтому, принимая решение о правильности гипотезы, можно допустить ошибку. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна. Вероятность этой ошибки задается заранее выбором уровня значимости q (как указывалось ранее, типичные значения q: 0,01; 0,05, 0,1 или 1, 5 и 10 %). Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимается, а на самом деле она неверна. Уменьшение ошибки второго рода достигается увеличением уровня значимости. Таким образом, уменьшение уровня значимости приводит к уменьшению ошибки первого рода и при этом к увеличению ошибки второго рода. Отметим, что единственный способ одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объема выборок.
Поиск по сайту: