Коэффициент корреляции

Во многих случаях целью экспериментальных исследований является установление и изучение зависимости между некоторыми величинами. Если каждая из этих величин является случайной, то при этом используют методы корреляционного анализа. Так, методами корреляционного анализа можно оценить степень взаимосвязи между пределом влажности воздуха и количеством дисперсных загрязняющих частиц и т.д.

Будем говорить, что между двумя случайными величинами имеется статистическая связь, если при изменении одной из них меняется распределение другой. Для оценки статистической связи по данным эксперимента широко используется выборочный коэффициент корреляции. Пусть проведено n наблюдений и в каждом из них определялись значения двух параметров (признаков) x и y. Следовательно, имеются две одновременно получаемые выборки:

и .

По каждойиз них найдем среднее арифметическое и , а также выборочный стандарт s_x и s_y. Выборочный коэффициент корреляции r рассчитывается по формуле

, (1.24)

которую можно переписать в виде, более удобном для вычислений:

. (1.25)

При расчетах полезно иметь в виду, что выборочный коэффициент корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба измерения x и у.

Коэффициент корреляции всегда лежит в пределах – 1 < r < 1. Он характеризует не всякую, а только линейную зависимость между случайными величинами. При положительном r можно предполагать, что с возрастанием одной из случайных величин другая в среднем тоже возрастает. При отрицательном r с ростом одной из них другая величина будет в среднем убывать. Чем ближе величина r к 1 или к (–1), тем больше степень линейной зависимости между рассматриваемыми случайными величинами. Значение r = 0 свидетельствует об отсутствии линейной статистической связи между ними. Такие случайные величины называются некоррелированными. Для выяснения, будут ли некоррелированными в этом случае признаки х и у, вычисляют величину [3]

t _расч . (1.26)

Ее сравнивают с табличным значением t -критерия Стьюдента, найденным при выбранном уровне значимости q и числе степеней свободы f = п – 2. Если t _расч < t _табл, принимается гипотеза о некоррелированности величин х и у. В противном случае коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т.е. между величинами x и y существует линейная статистическая связь.

Пример. При исследовании влияния низко интенсивного ЭМИ (2–10 мкВт/см², 9–10 ГГц) на прорастание семян ржи получено 15 замеров:

х_i = 5 2 5 10 7 7 7 7 5 5 15 14 12 8 10 11

у_i = 2 1,5 3 5 3 3 3 3 3 2 8 5 5 4 4 5

где x – мощность потока, y – длина корешка проращиваемого зерна в мм. Требуется выяснить, имеется ли корреляционная связь между этими показателями.

Предварительно вычислим суммы:

∑ х_i = 130; ∑ х_i ²= 1250;

∑ у_i = 59,5; ∑ у_i ²= 260,25; ∑ х_i у_i = 564.

Далее вычисляем коэффициент корреляции

.

Результаты вычислений свидетельствуют о значительной корреляционной связи между рассматриваемыми параметрами. Оценим формально значимость коэффициента корреляции, для чего вычислим t _расч по формуле (1.26):

t _расч .

Для q = 0,05 найдем из табл. 1.1 при f = n – 2 = 14, t _табл = 2,14.

Сравнивая t _расч с t _табл, получим: t _расч = 9,162 > t _табл = 2,14. Это подтверждает вывод о наличии корреляционной связи между исследуемыми показателями.

Если требуется исследовать статистическую связь между тремя и более случайными величинами, то пользуются коэффициентом множественной корреляции. Так, для оценки степени статистической связи случайной величины z с величинами x и у рассчитывают выборочный совокупный коэффициент корреляции p по формуле

, (1.27)

где r_xy, r_xz, r_yz – корреляции соответственно между величинами x и у, у и z, x и z. Величина p лежит в пределах 0 < p < l и так же, как и обычный коэффициент корреляции, служит для оценки линейной статистической связи.

Поиск по сайту: