Экспериментальных исследований

Проиллюстрируем методику обработки экспериментальных данных на примере исследования влияния низкоинтенсивного высокочастотного излучения 9–10 ГГц и влажности на прорастание семян ржи. Были выбраны следующие диапазоны варьирования факторов: интенсивности излучения в зоне размещения семян 0 < I <10 мкВт/см²; изменение влажности 35 < W < 55 %. По технологическим причинам были выбраны пять уровней варьирования для каждого из факторов и рассматривались всевозможные их комбинации. Один исследуемый образец представлялся 50 семенами ржи. В качестве функции отклика принимались значения размера корешка, проращиваемых семян ржи y.

Матрица плана данного эксперимента в натуральных обозначениях факторов приведена во втором и третьем столбцах табл. 4.10.

Таблица 4.10

Результаты эксперимента

Номер опы­та j	Влажность семян W, %	Интенсивность потока I, мкВт/см2	Средний размер корешка проростка семени, 10 мм	Дисперсия	Значение, полученные по уравнению регрессии
		7,5 7,5 2,5 2,5 7,5 2,5 7,5 2,5 10 0 5			485,5 392,5 366,3 534,8 366,2 374,9 414,8 432,3 441,9 476,8 383,7 543,6 357,5 423,5

В пятый столбец таблицы вписаны значения дисперсий опытов, вычисленные по формуле (4.24). По G- критерию Кохрена проверена гипотеза об однородности этих дисперсий.

G _расч= .

Из таблиц G- критерия (см. приложение 3) при уровне значимости q = 0,05 для числа степеней свободы каждой выборки f = n – 1 = 50 – 1 = 49 и для числа выборок m = 21 получим G _табл = 0,09. Это соотношение G _расч < G _табл позволяет принять гипотезу об однородности дисперсий опытов.

Далее определяем дисперсию воспроизводимости опытов (эксперимента)

с числом степеней свободы

f = N (n – 1) = 21×(50 – 1).

Расчет коэффициентов регрессии проводился для математической модели в нормализованных обозначениях факторов. Значения нормализованных факторов вычисляются из выражений:

Для расчета коэффициентов регрессии необходимо построить матрицу базисных функций в нормализованных обозначениях факторов. Уравнение регрессии выбрано второго порядка, вида:

для которого матрица базисных функций этой модели должна содержать столбцы:

Матрица базисных функций в нормализованных обозначениях факторов приведена в табл. 4.11.

Коэффициенты регрессионной модели рассчитываются по формуле (4.20). Полученные значения коэффициентов представлены в табл. 4.12.

Таблица 4.11

Матрица базисных функций

в нормализованных обозначениях факторов

Номер опыта	х 0	х 1	х 2			х 1 х 2
		0,5 –0,5 0,5 –0,5 0,5 –0,5 0,5 –0,5 –1 –1 0,5 –0,5 –1	0,5 0,5 –0,5 –0,5 –1 –1 0,5 –0,5 –1 0,5 –0,5 –1	0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25	0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25	0,25 –0,25 –0,25 0,25 0,5 –0,5 –0,5 0,5 0,5 0,5

Таблица 3.12

Коэффициенты регрессионной модели

Индекс коэффициента				T табл s { bi }
	421,5 93,05 – 17,46 27,94 3,8 –0,99	0,194 0,132 0,112 0,483 0,304 0,486	8,24 6,80 6,30 13,02 10,32 13,05	16,10 13,30 12,25 25,52 20,22 25,60	423,5 93,05 –17,46 27,04 - -

Для оценки значимости найденных коэффициентов регрессии проверяем выполнение неравенства (4.32). Предварительно необходимо вычислить элементы C_ii матрицы (Х^ТХ)^-1, где Х – матрица базисных функций. Для выбранного уровня значимости q = 0,05 и числа степеней свободы f = N (n – 1) = 21×(50 – 1), связанного с дисперсией воспроизводимости, из таблицы 1 найдем значение t _табл = =1,96. Тогда значения дисперсии коэффициентов вычисляется по формуле

Сопоставляя элементы второго и пятого столбцов табл. 4.12, проверяем выполнение неравенства (4.32). Как видно, незначимыми оказались коэффициенты регрессии b ₂₂ и b ₁₂. Как отмечалось, после отбрасывания незначимых коэффициентов величины остальные коэффициенты регрессии изменяются. Это заставляет вторично проводить расчет оставшихся коэффициентов регрессии. Матрица базисных функций в данном случае содержит уже только столбцы х ₀, х ₁, х ₂, .

Вновь рассчитанные коэффициенты регрессии приведены в шестом столбце табл. 4.12. Таким образом, окончательно, регрессионная модель будет иметь вид

Проверим адекватность полученной модели согласно методике, изложенной в п. 3.5. Вначале определяют значения отклика ŷ_j, по полученной модели для каждого j опыта. С этой целью в уравнение регрессии подставляют значения факторов x ₁ и x ₂, соответствующие каждому из опытов плана. Результаты расчетов значений функции отклика приведены в шестом столбце табл. 4.10. Далее по формуле (4.35) вычисляем сумму квадратов, характеризующую адекватность модели

Затем рассчитываем: число степеней свободы f _ад = N – p = 17(где p – количество коэффициентов уравнения регрессии); дисперсию адекватности по формуле

Расчетное значение критерия Фишера

F _расч= .

Зададимся уровнем значимости q = 0,01. Из таблицы значений критерия Фишера для значений f _ад = 17 и f_y = 168 F _расч равно 1,95. Полученное соотношение F _расч <F _табпозволяет принять гипотезу об адекватности регрессионной модели.

Поиск по сайту: