АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

С одной переменной

Читайте также:
  1. I. Составьте предложения с прямым и обратным порядком слов. Подчеркните подлежащее одной чертой, сказуемое – двумя. Переведите предложения на русский язык.
  2. Абиотические факторы водной среды
  3. Адрес переменной
  4. Анализ вариации (дисперсии) зависимой переменной в регрессии.
  5. Анализ данных сводной таблицы Excel 2007
  6. Анализ доходной части регионального бюджета
  7. Анализ расходной части регионального бюджета
  8. Буде в городе явится дело такого рода, что многое число людей допросить надлежит из одной или разных частей города (или кварта-
  9. Булевые функции одной переменной
  10. Быть социальным посредником – значит объяснять взгляды и интересы одной стороны другой.
  11. В его глазах искрились золотые огоньки. Его просто трясло, так сильно он переживал и был одновременно рад слышать родной голос.
  12. В одной связке

 

Рассмотрим случай варьирования единственного фактора Х 1. Предположим, что эксперимент состоит в постановке N опытов, и в этих опытах фактор Х 1принимает значения Х 11, Х 12 ,…, Х 1 N . Здесь Х 1 j значение фактора Х 1 в опыте за номером j (j = 1, 2, …, N). Выходная величина у принимает в этих опытах значения у 1, у 2,… уN соответственно. Отложим по оси абсцисс значения фактора Х 1, принимаемые им в опытах, а по оси ординат – соответствующие значения у, получим совокупность точек, которые графически представлены на рис. 4.5.

Цель эксперимента – получение регрессионной зависимости y = f (Х 1), которая с достаточной точностью описала бы результаты эксперимента. Пусть требуется исследовать зависимость влажности поверхностного слоя почвы от температуры окружающей среды. Влажность почвы определяют методом взвешивания при разных значениях температуры окружающей среды. Тогда точки у 1, у 2, у 3 ,… у 6на рис. 4.5. – это значения влажности почвы, измеренные при соответствующих температурах Х 1 i.

 

Рис. 4.5

 

Закономерность изменения влажности в зависимости от изменения температуры окружающей среды получим на графике, если проведем сглаживающую кривую, лежащую возможно ближе к экспериментальным значениям у 1. Однако на глаз такую кривую можно провести разными способами и, кроме того, помимо графика, для исследования и прогноза, необходима аналитическая зависимость исследуемых факторов. Все это заставляет обратиться к аналитическим методам построения регрессионной модели.

Конкретизируем приведенное выше требование, чтобы экспериментальные точки лежали в совокупности как можно ближе к кривой, являющейся графиком искомой зависимости. Допустим, что аналитическое представление зависимости у от Х 1 уже каким-то образом получено в виде уравнения регрессии у = f (Х 1). График зависимости у = f (Х 1) – это искомая кривая (см. рис. 4.5).

Значениям фактора Х 1, равным Х 11, Х 12 ,… Х 1 N ,соответствуют точки на кривой ŷ 1, ŷ 2, ŷ 3 …, ŷN, рассчитанные по уравнению регрессии у = f (Х 1) эти точки являются значениями выходной величины исследуемого процесса:

ŷ 1 = f (Х 11),

ŷ 2 = f (Х 12),

…………..

ŷN = f (Х 1 N ). (4.5)

Найдем величину δ1 = у 1 – ŷ 1 (рис. 3.5), которая характеризует отклонение результата эксперимента у 1 в точке Х 11 от значения функции отклика ŷ 1 = f(Х 11 ) в этой же точке. Аналогично рассмотрим отклонения δ2 = у 2 – ŷ 3,…, δ N = уNŷN. Согласно методу наименьших квадратов (МНК), оценки для коэффициентов регрессии определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений Ф, т.е.

(4.6)

Исходя из сформулированного требования, найдем формулы для вычисления коэффициентов регрессии в простейшем случае линейной модели с единственным фактором Х 1. Это модель вида

(4.7)

Формулы (4.5) для данной модели примут соответствующий вид:

ŷ 1 = B 0 + B 1 X 11;

ŷ 2 = B 0 + B 1 B 12;

…………….

ŷN = B 0 + B 1 B 1 N .

Подставим ŷ 1, ŷ 2, ŷ 3 …, ŷN в выражение (4.6)

Ф = (y 1 B 0 - B 1 X 11)2 + (y 2 B 0 - B 1 X 12)2 +…+ (yNB 0 - B 1 X 1 N )2.

Чтобы найти значения В 0 и В 1, при которых сумма Фминимальна, возьмем производные от Фпо В 0 и по В 1 и приравняем их нулю:

=0;

=0

После элементарных преобразований эти уравнения примут вид:

или короче

(4.8)

Получена система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными В 0 и В 1, n = N Она называется системой нормальных уравнений. Решая ее, придем к искомым формулам:

(4.9)

Для придания системе (4.8) более симметричный вид введем фиктивный фактор Х 0. Этот фактор не имеет физического смысла и в каждом опыте принимает одинаковые значения, равные +1:

Х 01 = Х 02 = … = Х 0 N = 1.

Теперь регрессионную модель (4.7) можно представить следующим образом: у = В 0 Х 0 + В 1 Х 1, а систему (4.8) с введенным фиктивным фактором можно переписать в виде

(4.10)

Из этой симметричной записи легко усвоить принцип составления системы нормальных уравнений (4.10).

Разберемся, на какие суммы умножаются коэффициенты регрессии В 0 и В 1 в левых частях каждого уравнения. В первом из них они суммируются по всем опытам произведения значений фиктивного фактора Х 0 поочередно на значения факторов Х 0 и Х 1. Во втором уравнении стоят суммы произведений значений фактора Х 1 на те же факторы Х 0 и Х 1. В правых частях уравнений стоят суммы произведений значений факторов (Х 0 – в первом уравнении и Х 1 – во втором) на значения выходной величины у. Для проверки вычислений следует иметь в виду, что при подстановке в уравнение (4.7) среднего арифметического значений фактора Х 1: , значение ŷ должно получиться равным среднему арифметическому значению уi: , т.е. справедливо равенство

. (4.11)

Если это равенство не применяется для проверки вычислений, то им можно воспользоваться для их упрощения. В самом деле, вычитая почленно из уравнения (4.7) равенство (4.11), получим уравнение регрессии в следующем виде

. (4.12)

В это уравнение входит уже только один коэффициент регрессии В 1, а также средние и .

 

Пример. При исследовании влияния низкоинтенсивного электромагнитного излучения (1–5 мкВт/см2 с 10 минутной экспозицией, 9–10 ГГц) на прорастание семян ржи определялась длина корешка проращиваемого зерна у см. Каждый опыт повторялся на трех образцах, один образец представлялся 15-ю семенами ржи. Результаты эксперимента сведены в табл. 4.2.

В качестве отклика для каждого опыта рассмотрим среднее значение yi, полученное по трем образцам (при этом значение y для каждого образца определяется как среднее для 15 семян), которые приведены в пятом столбце табл. 4.2.

 

Таблица 4.2

 

Результаты эксперимента

Номер опыта Интенсивность излучения, мкВт/см2 Номер образца   Длина корешка, см yi, см   ŷ 1, см  
  1,0   0,12 0,07 0,14   0,11   0,109
  1,5   0,19 0,17 0,12 0,16 0,17  
  2,0   0,22 0,22 0,20 0,215 0,232
  2,5   0,31 0,33 0,35 0,33 0,293
  3,5   0,39 0,44 0,37 0,34 0,416

 

Регрессионную модель будем искать в виде линейного уравнения (4.7). Рассчитаем суммы, входящие в формулы (4.9), а также средние Х 1ср и у ср. :

;

;

;

;

;

Воспользовавшись формулами (4.9), получим значения коэффициентов регрессии.

Проверим, выполняется ли равенство (4.11):

y ср = 0,243 ≈ – 0,014 + 0,123 * 2,1.

Это убеждает в правильности вычислений. Таким образом, результаты эксперимента описываются математической моделью

у = –0,014 + 0,123 Х 1.

Всегда интересно знать, насколько точно полученная зависимость описывает результаты эксперимента. Простейшая проверка состоит в подстановке в уравнение регрессии значений фактора (факторов), соответствующих условиям каждого поставленного опыта. Вычисленные значения отклика ŷi сравниваются с экспериментальными значениями. Найденные из уравнения регрессии значения ŷi приведены в последнем столбце табл. 4.2. Сравнение их с результатами опытов свидетельствует об удовлетворительной точности регрессионной модели. Полная процедура статистического анализа уравнения регрессии будет приведена в п. 4.5.

Вычисления по формулам (4.9) существенно упрощаются, если фактор Х 1 принимает равноотстоящие значения, т.е. Х 12 = Х 11 + h, Х 13= Х 12 + h и т.д., где h – константа, называемая шагом. При этом Х 1ср = (Х 11 + Х 1 N ) /2.

Коэффициент В 1для модели (4.12) вычисляют в этом случае по одной из двух приведенных ниже формул в зависимости от того, является ли число поставленных опытов N четным или нечетным [5]. Если N нечетно, то

(4.13)

В формуле (4.13) М и H 1 соответственно равны

(4.14)

Если N четно, то

(4.15)

где М =N /2; H 1 = N (N 2 1)/12.

Обратимся теперь к вычислению коэффициентов квадратичной модели с единственным фактором Х 1:

у = В 0 + В 1 Х 1 + В 11 Х 12.

Для отыскания трех неизвестных коэффициентов регрессии В 0, В 1и В 11 надо решить следующую систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Аналогично случаю линейной модели, вычисления коэффициентов регрессии значительно упростятся при равноотстоящих значениях факторов Х 1. Математическую модель в этом случае удобно представить в виде

(4.16)

где h – по-прежнему шаг варьирования фактора Х 1, а коэффициенты , и вычисляются по следующим формулам [5].

При нечетном N:

где H 2 = N (N 2 – 1)(N 2 – 4)/180, а М и H 1 вычисляют по формуле (4.14).

При четном N:

М = N /2, а H 1и H 2вычисляют по тем же формулам.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)