С одной переменной

…………..

ŷ_N = f (Х _{1 N} ). (4.5)

Найдем величину δ₁ = у ₁ – ŷ ₁ (рис. 3.5), которая характеризует отклонение результата эксперимента у ₁ в точке Х ₁₁ от значения функции отклика ŷ ₁ = f(Х ₁₁ ) в этой же точке. Аналогично рассмотрим отклонения δ₂ = у ₂ – ŷ ₃,…, δ _N = у_N – ŷ_N. Согласно методу наименьших квадратов (МНК), оценки для коэффициентов регрессии определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений Ф, т.е.

(4.6)

Исходя из сформулированного требования, найдем формулы для вычисления коэффициентов регрессии в простейшем случае линейной модели с единственным фактором Х ₁. Это модель вида

(4.7)

Формулы (4.5) для данной модели примут соответствующий вид:

ŷ ₁ = B ₀ + B ₁ X ₁₁;

ŷ ₂ = B ₀ + B ₁ B ₁₂;

…………….

ŷ_N = B ₀ + B ₁ B _{1 N} .

Подставим ŷ ₁, ŷ ₂, ŷ ₃ …, ŷ_N в выражение (4.6)

Ф = (y ₁ – B ₀ - B ₁ X ₁₁)² + (y ₂ – B ₀ - B ₁ X ₁₂)² +…+ (y_N – B ₀ - B ₁ X _{1 N} )².

Чтобы найти значения В ₀ и В ₁, при которых сумма Фминимальна, возьмем производные от Фпо В ₀ и по В ₁ и приравняем их нулю:

=0;

=0

После элементарных преобразований эти уравнения примут вид:

или короче

(4.8)

Получена система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными В ₀ и В ₁, n = N Она называется системой нормальных уравнений. Решая ее, придем к искомым формулам:

(4.9)

Для придания системе (4.8) более симметричный вид введем фиктивный фактор Х ₀. Этот фактор не имеет физического смысла и в каждом опыте принимает одинаковые значения, равные +1:

Х ₀₁ = Х ₀₂ = … = Х _{0 N} = 1.

Теперь регрессионную модель (4.7) можно представить следующим образом: у = В ₀ Х ₀ + В ₁ Х ₁, а систему (4.8) с введенным фиктивным фактором можно переписать в виде

(4.10)

Из этой симметричной записи легко усвоить принцип составления системы нормальных уравнений (4.10).

Разберемся, на какие суммы умножаются коэффициенты регрессии В ₀ и В ₁ в левых частях каждого уравнения. В первом из них они суммируются по всем опытам произведения значений фиктивного фактора Х ₀ поочередно на значения факторов Х ₀ и Х ₁. Во втором уравнении стоят суммы произведений значений фактора Х ₁ на те же факторы Х ₀ и Х ₁. В правых частях уравнений стоят суммы произведений значений факторов (Х ₀ – в первом уравнении и Х ₁ – во втором) на значения выходной величины у. Для проверки вычислений следует иметь в виду, что при подстановке в уравнение (4.7) среднего арифметического значений фактора Х ₁: , значение ŷ должно получиться равным среднему арифметическому значению у_i: , т.е. справедливо равенство

. (4.11)

Если это равенство не применяется для проверки вычислений, то им можно воспользоваться для их упрощения. В самом деле, вычитая почленно из уравнения (4.7) равенство (4.11), получим уравнение регрессии в следующем виде

. (4.12)

В это уравнение входит уже только один коэффициент регрессии В ₁, а также средние и .

Пример. При исследовании влияния низкоинтенсивного электромагнитного излучения (1–5 мкВт/см² с 10 минутной экспозицией, 9–10 ГГц) на прорастание семян ржи определялась длина корешка проращиваемого зерна у см. Каждый опыт повторялся на трех образцах, один образец представлялся 15-ю семенами ржи. Результаты эксперимента сведены в табл. 4.2.

В качестве отклика для каждого опыта рассмотрим среднее значение y_i, полученное по трем образцам (при этом значение y для каждого образца определяется как среднее для 15 семян), которые приведены в пятом столбце табл. 4.2.

Таблица 4.2

Результаты эксперимента

Регрессионную модель будем искать в виде линейного уравнения (4.7). Рассчитаем суммы, входящие в формулы (4.9), а также средние Х _1ср и у _ср. :

;

;

;

;

;

Воспользовавшись формулами (4.9), получим значения коэффициентов регрессии.

Проверим, выполняется ли равенство (4.11):

y _ср = 0,243 ≈ – 0,014 + 0,123 * 2,1.

Это убеждает в правильности вычислений. Таким образом, результаты эксперимента описываются математической моделью

у = –0,014 + 0,123 Х ₁.

Всегда интересно знать, насколько точно полученная зависимость описывает результаты эксперимента. Простейшая проверка состоит в подстановке в уравнение регрессии значений фактора (факторов), соответствующих условиям каждого поставленного опыта. Вычисленные значения отклика ŷ_i сравниваются с экспериментальными значениями. Найденные из уравнения регрессии значения ŷ_i приведены в последнем столбце табл. 4.2. Сравнение их с результатами опытов свидетельствует об удовлетворительной точности регрессионной модели. Полная процедура статистического анализа уравнения регрессии будет приведена в п. 4.5.

Вычисления по формулам (4.9) существенно упрощаются, если фактор Х ₁ принимает равноотстоящие значения, т.е. Х ₁₂ = Х ₁₁ + h, Х ₁₃= Х ₁₂ + h и т.д., где h – константа, называемая шагом. При этом Х _1ср = (Х ₁₁ + Х _{1 N} ) /2.

Коэффициент В ₁для модели (4.12) вычисляют в этом случае по одной из двух приведенных ниже формул в зависимости от того, является ли число поставленных опытов N четным или нечетным [5]. Если N нечетно, то

(4.13)

В формуле (4.13) М и H ₁ соответственно равны

(4.14)

Если N четно, то

(4.15)

где М =N /2; H ₁ = N (N ² – 1)/12.

Обратимся теперь к вычислению коэффициентов квадратичной модели с единственным фактором Х ₁:

у = В ₀ + В ₁ Х ₁ + В ₁₁ Х ₁².

Для отыскания трех неизвестных коэффициентов регрессии В ₀, В ₁и В ₁₁ надо решить следующую систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Аналогично случаю линейной модели, вычисления коэффициентов регрессии значительно упростятся при равноотстоящих значениях факторов Х ₁. Математическую модель в этом случае удобно представить в виде

(4.16)

где h – по-прежнему шаг варьирования фактора Х ₁, а коэффициенты , и вычисляются по следующим формулам [5].

При нечетном N:

где H ₂ = N (N ² – 1)(N ² – 4)/180, а М и H ₁ вычисляют по формуле (4.14).

При четном N:

М = N /2, а H ₁и H ₂вычисляют по тем же формулам.

Поиск по сайту: