Статистический анализ уравнения регрессии

4.5.1.Дисперсия воспроизводимости. После того как уравнение получено, приступают к его статистическому анализу. При этом решают две основные задачи: оценивают значимость коэффициентов регрессии и проверяют адекватность математической модели. Для выполнения каждой из этих процедур необходимо иметь количественную оценку ошибок эксперимента в целом. Соответствующей характеристикой является дисперсия воспроизводимости, обозначаемая через Рассмотрим способы ее вычисления в зависимости от методики дублирования опытов.

1. Равномерное дублирование. Каждый из N запланированных опытов повторяется одинаковое число n раз, т.е. имеется N серий, в каждой из которых ставится n дублированных опытов.

Обозначим результаты опытов первой серии через

.

По ним можно рассчитать дисперсию первого опыта

где – среднее по серии дублированных опытов, равное

Аналогично рассчитываются средние и дисперсии всех остальных опытов:

(4.23)

(4.24)

.

Отметим, что числа степеней свободы всех дисперсий одинаковы и равны п –1: . В качестве дисперсии воспроизводимости берется среднее арифметическое дисперсий опытов

(4.25)

Число степеней свободы f_y этой дисперсии равно сумме чисел степеней свободы дисперсий опытов

(4.26)

Необходимыми предпосылками статистического анализа являются нормальность распределения выходной величины и однородность дисперсии опытов. Проверка однородности дисперсий опытов при равномерном их дублировании проводится по критерию Кохрена (см. п. 1.7).

2. Неравномерное дублирование. Каждый j -й опыт повторяется в этом случае некоторое число п_j раз. Как и в предыдущем случае, вычисляются дисперсии первого, второго, j -го опытов: – по формулам, аналогичным формуле (4.26), только вместо n здесь будет стоять п_j:

. (4.27)

Числа степени свободы дисперсий различны: f_j = n_j – 1. Дисперсия воспроизводимости для этого случая определяется по формуле

(4.28)

Если число степеней свободы равно f_у = n ₁ – 1, то

(4.29)

Для проверки однородности дисперсий в данном случае необходимо воспользоваться критерием Бартлетта (см. п. 2.8).

3. Частный случай неравномерного дублирования, когда из N поставленных опытов дублируется только один, для определенности – первый с числом повторений n ₁ раз. Дисперсия, рассчитанная по этой серии, принимается за оценку дисперсии воспроизводимости с числом степеней свободы f_y = n ₁ – 1.

4. Отсутствие дублированных опытов. Для оценки дисперсии воспроизводимости в этом случае приходится ставить отдельную серию дублированных опытов, если это возможно. Как и в предыдущем случае, дисперсия опытов этой серии служит оценкой дисперсии воспроизводимости с числом степеней свободы, равным , где n ₀ – число дублированных опытов в отдельной серии.

4.5.2.Оценка точности, значимости коэффициентов регрессии и интерпретации результатов. Статистическую обработку проводят обычно для модели, записанной в нормализованных обозначениях факторов. Для определенности будем иметь в виду линейную модель, содержащую k факторов. После того, как уравнение регрессии получено и рассчитана дисперсия воспроизводимости, следует оценить точность, с которой найдены коэффициенты регрессии. Поскольку они вычислены по результатам эксперимента, а эти результаты являются случайными величинами, то случайными величинами будут и коэффициенты регрессии В_i. Поэтому в качестве показателя точности поиска коэффициентов удобно взять его дисперсию .

Поиск по сайту: