АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Для математического ожидания

Читайте также:
  1. Вопрос об эффектах ожидания
  2. Выделяют следующие методы РУР: аналитические, статистические, математического программирования, эвристические, активизирующие, экспертные, методы сценариев и метод дерева решений.
  3. Групповые ожидания как критерии правильности личных конструктов
  4. для студентов IV курса ДО математического факультета
  5. Жизнь мужчины, как и жизнь женщины, во многом определяется ограничениями, заложенными в ролевых ожиданиях
  6. ЗАДАНИЕ 6 . Постановка задачи математического программирования
  7. Законы убеждения: ответного действия, контраста, дружбы, ожидания, ассоциации, последовательности, редкой возможности, конформизма, влияния.
  8. ЛАБОРАТОРИЯ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
  9. Мотивации и ожидания
  10. Объектов. Проблема обоснования математического знания
  11. Опредиление расчетного минимально допустимого интервала между моментами выхода ВС из зоны ожидания

 

Величина , найденная по выборке, представляет ценность постольку, поскольку по ней можно судить об истинном среднем математическом ожидании My. Представляет интерес отыскание величины максимальной ошибки ∆, которую мы допускаем, предполагая My равным . Требуется, следовательно, найти величину D, при которой

. (1.11)

Неравенством (1.11) задается интервал, в котором находится значение математического ожидания M y. Этот интервал называется доверительным интервалом для математического ожидания. Величина D зависит, очевидно, от объема выборки n. Чем больше n, тем меньше максимальная ошибка D. Однако даже при заданном n нельзя абсолютно достоверно указать величину D, так как расчет этой величины, как и любой статистический вывод, делают на основе результатов эксперимента, а они заведомо содержат ошибки.

Выводы, которые делают на основе неточных данных, принципиально не могут быть абсолютно достоверными, поэтому говорят о надежности статистического вывода, которую оценивают величиной доверительной вероятности p, где 0 < p < 1. Например, статистический вывод, сделанный с доверительной вероятностью p = = 0,95, будет справедлив в 95 случаях из 100. Будем пользоваться чаще величиной q = 1 – р, называемой уровнем значимости. Уровень значимости задается заранее до проведения расчетов. Типичные значения для q: 0,01; 0,05 и 0,1 или в процентах: 1, 5, 10.

Вернемся к отысканию доверительного интервала для математического ожидания. Будем предполагать, что дисперсия измеряемой величины y заранее неизвестна, а ее оценка s 2 найдена по выборке с помощью формул (1.4) или (1.9). В этом случае величина D определяется по формуле [3], следовательно, доверительный интервал для математического ожидания равен

. (1.12)

Величина s – это оценка стандарта: . Кроме известных величин s и n, в формулу (1.12) входит величина t, для отыскания которой понадобятся статистические таблицы. Они есть практически в каждом руководстве по математической статистике или планированию эксперимента, в том числе и в данной книге.

Величина t называется табличным значением t -критерия Стьюдента. В соответствующей таблице (см. табл. 1.1) ее следует отыскать по предварительно заданному уровню значимости q и числу степеней свободы f = п – 1.

Оценку для математического ожидания в виде интервала часто называют интервальной оценкой в отличие от оценок по формулам (1.3) и (1.11), которые называют точечными оценками для математического ожидания.

 

Таблица 1.1

 

Значения t -критерия Стьюдента

(q – уровень значимости, f – число степеней свободы)

 

f q f q f   q
0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01
  12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01   2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78   2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,01 2,00 1,99 1,98 1,98 1,97 1,96 1,96 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,68 2,66 2,64 2,63 2,62 2,60 2,59 2,58

Пример. 10 образцов (по 60 семян ячменя) были подвергнуты СВЧ-облучению. В результате проросло следующее количество Н семян в образцах: 47, 35, 40, 43, 35, 41, 46, 44, 54, 39 шт. Требуется рассчитать точечную оценку и доверительный интервал для математического ожидания.

Вычислим среднее арифметическое H ср и оценку дисперсии s 2 выборки:.

Нср ,

Отсюда (шт.).

Зададимся уровнем значимости q = 0,05. Это соответствует доверительной вероятности p = 1 – q = 0,95. Из табл. 1.1 по величинам q = 0,05 и f = n – 1 = 9 найдем значение t = 2,26. Подставляя найденные значения для H, s, n и t в формулу (1.12), получим доверительный интервал для математического ожидания

. (1.13)

Не следует думать, что во всех случаях целесообразно задаваться как можно большей надежностью статистического вывода. Покажем на материале предыдущего примера, к чему это может привести. Зададимся теперь уровнем значимости q = 0,01. Доверительная вероятность будет теперь равна p = 1 – 0,01 = 0,99. Новое значение t, найденное из табл. 1.1, составит 3,25, а доверительная оценка примет вид 36,8 = < My = < 48,6. Как и следовало ожидать, с большей надежностью можно гарантировать только более широкий доверительный интервал для математического ожидания при тех же опытных данных.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)