Применяемых при исследованиях

В основе обработки результатов активного и пассивного эксперимента с количественными факторами лежит регрессионный анализ [4]. Он включает метод отыскания параметров математической модели и статистическую обработку данных. Зависимость выходной величины (отклика) Y от варьируемых факторов Х ₁, Х ₂ ,… Х_k, полученная с применением регрессионного анализа, называется регрессионной моделью:

(4.1)

– это обозначение некоторой функции от варьируемых факторов, называемой функцией отклика.

Регрессионная модель, таким образом, является частным случаем математической модели объекта. Выходных величин может быть несколько. Например, в процессе моделирования воздействия внешней среды на биологический объект могут измеряться температура, габариты, концентрация контролируемого параметра. Тогда зависимость вида (4.1) строится для каждого отклика. При этом, если по результатам каждого опыта замеряются сразу все отклики, то по сравнению со случаем единственной выходной величины возрастают только затраты на измерение нескольких откликов и на обработку результатов эксперимента.

Построенная регрессионная модель позволяет получить информацию о самом объекте и о способах управления им. С помощью регрессионной модели легко оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходную величину; модель может послужить основой для оптимизации процесса. Существенно, что вид регрессионной модели должен быть задан заранее, или до проведения эксперимента следует выбрать, к какому классу относится функция y = f (Х ₁, Х ₂ ,… Х_k). Например, можно искать регрессионную модель в виде многочлена (полинома) определенного порядка, либо в виде экспоненты, тригонометрического многочлена и т.д. Таким образом, при планировании эксперимента для математического описания объекта по результатам опытов рассчитываются только значения констант в регрессионной модели. Если, например имеется единственный варьируемый фактор Х ₁, а моделью является экспонента y = В ₀еxp(В ₁ Х ₁), то для построения модели в явном виде следует по результатам эксперимента вычислить значения коэффициентов В ₀и В ₁. Возникает вопрос: как выбирается вид регрессионной модели? Здесь исследователю должны помочь знания об объекте, которыми он располагал до постановки эксперимента, – априорная информация (от латинского а рriоri – до опыта), т.е. все возможные исследования данного объекта, проведенные ранее экспериментаторами и теоретиками, сведения, накопленные технологами и производственниками.

Поскольку вид регрессионной модели постулируется, задается до проведения эксперимента, остается пока открытым вопрос о достоверности такой модели. Чтобы оценить применимость построенной модели, соответствие ее исследуемому объекту, в планировании эксперимента предусмотрена специальная процедура, называемая проверкой адекватности регрессионной модели. По результатам этой проверки исследователь имеет возможность принять или отвергнуть гипотезу о том, соответствует ли построенная модель результатам эксперимента и, следовательно, пригодна ли она для описания объекта. Наибольшее применение нашли методы планирования эксперимента, в которых регрессионные модели объектов представляются в виде многочленов первого и второго порядка от варьируемых факторов. Модель в виде многочлена первого порядка сокращенно называют регрессионной моделью первого порядка, илилинейной. В общем случае приналичии варьируемых факторов X_i линейная регрессионная модель объекта имеет вид

(4.2)

где В ₀, В ₁, В ₂ ,…, В _k – коэффициенты, числовые значения которых определяются по результатам эксперимента. Их называют коэффициентами регрессии, а уравнение (4.2) или, в общем случае,(4.1) – уравнением регрессии.Коэффициенты В ₀, В ₁, В ₂ ,….B_{k ,}стоящие перед обозначениями факторов Х ₁, Х ₂ ,…. Х_k, называют линейными коэффициентами регрессии, а коэффициент В ₀ – свободным членом.

Пример. Проведено экспериментальное исследование зависимости прорастания семян ржи(выходная величина) от изменения температуры Х ₁ = t, °С и влажности Х₂ = W, %. Диапазоны варьирования факторов: 40 < t < 80 °С; 6 < W < 30 %.

Условия и результаты опытов сведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Результаты экспериментального исследования

Не рассматривая пока способ обработки данных, приведем ее результаты – линейную регрессионную модель:

(4.3)

Рис. 4.1. Графики зависимости W = f (t)

Построеннаямодель позволяет перейти к графическому представлению зависимости выходной величины от факторов. Подставляя в (4.3) поочередно значения влажности W, например, 10, 20и 30 %, получим семейство линейных зависимостей прорастания семян ржи только от температуры:

y = 9,0 – 0,0315 t;

y = 6,6 – 0,0315 t;

y = 4,2 – 0,0315 t.

Графиками этих зависимостей являются параллельными прямыми (рис. 4.1).

Аналогично можно построить семейство зависимостей y= f (W). Таким образом, выбор регрессионной модели первого порядка для описания объекта равносилен предположению о линейной зависимости выходной величины от каждого из факторов, т.е. утверждению о том, что выходная величина изменяется пропорционально изменению варьируемого фактора. Кроме того, представление регрессионной модели в виде многочлена первого порядка предполагает отсутствие эффектов взаимодействиямежду факторами. Это означает, что степень и характер влияния каждого фактора на выходную величину не зависят от уровней варьирования остальных факторов. На приведенных графиках (см. рис. 4.1) отсутствие эффектов взаимодействия между факторами t и W проявляется в параллельности прямых семейства.

Из сказанного следует, что линейная регрессионная модель дает, как правило, приближенное представление о влиянии факторов на объект. Применение таких моделей оправдано в следующих основных случаях:

1) на начальных этапах исследования объекта или в других ситуациях, когда экспериментатора удовлетворяет ограниченная точность линейного приближения;

2) при жестком ограничении на количество опытов, поскольку экспериментальные планы, позволяющие получить линейную модель, являются экономными;

3) в ситуации, когда экспериментатор уверен в достоверности линейной модели, например, по результатам теоретических исследований.

Обратимся к рассмотрению моделей второго порядка, т.е. моделей в виде многочленов второго порядка от варьируемых факторов. Построим сначала модель второго порядка (иначе – квадратичную модель), например, для трех варьируемых факторов:

(4.4)

Из уравнения (4.4) ясна общая структура квадратичной модели. Эта модель, рассматриваемая для произвольного числа k факторов, содержит, во-первых, все слагаемые линейной модели: свободный член В ₀, линейные члены В ₁ Х ₁, В ₂ Х ₂ ,…, В_kХ_k. Дополнительно к этому модель второго порядка включает квадратичные члены, являющиеся произведениями коэффициентов регрессии на квадраты факторов: В ₁₁ Х ₁ Х ₁, В ₂₂ Х ₂ Х ₂ ,… В_kk Х_k Х_k , и члены с парными взаимодействиями, которые представляют собой коэффициенты регрессии, умноженные на произведения двух различных факторов, т.е. члены вида: В ₁₂ Х ₁ Х ₂, В ₁₃ Х ₁ Х ₃ ,…, В _{1 k} Х ₁ Х_k, В ₂₃ Х ₂ Х ₃ ,…, В _{2 k} Х ₂ Х_k,…, В_{k -1 k} Х_{k- 1} Х_k. Зависимость выходной величины от каждого из факторов, полученная на основе квадратичной модели, представляется на графике отрезком параболы, имеющей ветви, направленные либо вверх; либо вниз. Такое представление позволяет достаточно полно описать широкий круг реальных зависимостей (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Пример зависимостей выходной величины y от фактора X

Графики зависимостей удовлетворительно описываемых моделями второго порядка представлены на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Пример зависимостей выходной величины y от фактора X

Описание объекта квадратичной моделью дает заведомо плохие результаты, если:

1) истинная зависимость отклика от некоторого фактора Х, имеет более одного экстремума (рис. 4.4, а);

2) зависимость y = Т (Х)имеет точку перегиба (рис. 4.4, б);

3) при некотором значении Х ₁ значение отклика резко (скачком) изменяется (рис. 4.4, в).

Рис. 4.4. Пример зависимостей выходной величины y от фактора X

В первых двух случаях можно рекомендовать для описания объекта многочлены третьего или более высокого порядка. Другим выходом из положения, пригодным для всех трех случаев, являются деление диапазона варьирования факторов на более мелкие поддиапазоны и изучение объекта для каждой из полученных областей отдельно. Например, зависимость, показанная на рис. 4.4, а, будет удовлетворительно описана участками двух парабол: от точки 1 до точки 2 и от точки 2 до точки 3. Однако правильное выделение областей варьирования требует наличия априорной информации о характере исследуемой зависимости.

Следует особо отметить случай, если графиком истинной зависимости является кривая, имеющая горизонтальную асимптоту (рис. 4.4, г). Если такую зависимость описать квадратичной моделью, то соответствующая парабола может иметь экстремум, в данном случае – минимум в точке А, внутри диапазона варьирования фактора, который совершенно не соответствует физической картине явления. Поэтому следует уменьшить диапазон варьирования фактора, исключив его правую часть.

Поиск по сайту: