Перестановка чисел, число инверсий, определитель

Перестановка чисел - Расположение чисел в любом порядке

Пусть дана некоторая перестановка чисел : два числа и образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит левее меньшего, т.е. если . Количество пар, образующих инверсию в перестановке, называется числом инверсий в перестановке.

Определителем матрицы (определителем порядка ) называется число, равное алгебраической сумме слагаемых, удовлетворяющих следующим условиям:

1) каждое слагаемое есть произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

2) слагаемое берется со знаком «плюс», если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают четное число. В противном случае слагаемое берется со знаком «минус».

определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали

Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести произведений. Со знаком «плюс» берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком «минус» берутся произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали

Свойства определителей:

1) при транспонировании матрицы ее определитель не меняется

2) При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

4) Если все элементы -й строки определителя |A| являются суммами двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей |A₁| и |A₂|, у которых все строки кроме -й совпадают со строками определителя |A|, а -я строка в определителе |A₁| состоит из первых слагаемых, а в определителе |A₂| – из вторых слагаемых.

5) Определитель не изменится, если к каждому элементу -й строки (столбца) прибавить соответствующий элемент -й строки (столбца), умноженный на число .

6) Определитель равен нулю если:

а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей;

б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (столбца);

в) он имеет хотя бы две пропорциональные (т.е. отличающиеся множителем) строки (столбца);

г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов).

Теорема Лапласа: Пусть в определителе порядка выбрано строк (столбцов) (где ). Тогда определитель равен сумме произведений всех миноров -го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Следствие 1: Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Следствие 2: Сумма произведений элементов -й строки (столбца) определителя на алгебраический дополнения соответствующих элементов -й строки (столбца) этого определителя равна нулю

4.Минор к -порядка минор элемента матрицы, ранг

Пусть – матрица размера . Выберем в ней произвольно строк и столбцов (где ). Пусть, например, это будут строки с номерами и столбцы с номерами . Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим определитель :

.

Этот определитель называют минором -го порядка матрицы .

Алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы А порядка n наз. минор этого элемента M _ij взятый со знаком (-1)^i+j

Ранг - максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля; базисный минор – это минор, отличный от нуля максимального порядка.

Минором элемента a_ij матрицы порядка n определитель порядка n-1 полученный из элементов матрицы после вычеркивания из нее строки с номером i и столбца с номером j на пересечении которого стоит этот элемент

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида:

1) умножение строки (столбца) на число ;

2) прибавление к -й строке (столбцу) -й строки (столбца), умноженной на число ;

3) перестановка -й и -й строки (столбца);

4) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов);

5) вычеркивание нулевых строк (столбцов).

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид , где (), – числа. Числа называются коэффициентами уравнения, называется свободным членом. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным.

система линейных уравнений с неизвестными:

(5)

Обозначим через и следующие матрицы:

и .

Матрицу называют основной матрицей системы (5), а матрицу – расширенной матрицей системы (5).

Пусть – матрица-столбец неизвестных, – матрица-столбец свободных членов, т.е.

и .

Тогда систему (5) можно записать в виде матричного уравнения . Его называют матричной формой системы (5).

Упорядоченный набор чисел называется решением системы (5), если он обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Если система совместна, то она имеет либо одно решение, либо множество решений. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая множество решений, называется неопределенной.

окаймляющим минором называется любой минор порядка , содержащий минор .

ТЕОРЕМА. Если в матрице есть минор -го порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен .

метод окаймляющих миноров:

Находим в матрице минор порядка , отличный от нуля (где ). Если все его окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . Если найдется окаймляющий минор , то рассматриваем окаймляющие миноры для . Если среди них нет ненулевых, то ранг матрицы равен . Если найдется окаймляющий минор , то рассматриваем окаймляющие миноры для и т.д. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не будет найден ранг матрицы, или не дойдем до окаймляющего минора , где – максимальный порядок миноров в матрице. Последнее будет означать, что ранг матрицы равен .

ТЕОРЕМА. Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

элементарные преобразования матрицы сохраняют ее ненулевые миноры (они могут лишь изменить их знаки).

ТЕОРЕМА. Любая матрица эквивалентна некоторой треугольной или трапециевидной матрице, которая может быть получена из элементарными преобразованиями только строк.

метод элементарных преобразований:

1) с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы эквивалентную треугольную или трапециевидную матрицу ;

2) находим в матрице базисный минор и определяем ранг матрицы и матрицы .

Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы:

· Умножение строки на число отличное от нуля

· Прибавление к одной строке другой строки

· Перестановка строк

· Те же преобразования столбцов

· Детерминант матрицы не изменится, если к какой либо его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов)

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы

Доказательство:

При умножении строки на число λ≠0 базисный минор либо не изменится, либо умножится на λ. Ни один минор, равный нулю, не сделается отличным от нуля.

Если все миноры порядка r+1 равны нулю, то сложение строк не сделает ни один из них отличным от нуля.

При перестановке строк минор может изменить знак (если в него входят обе переставляемые строки), или может замениться на минор, не больше чем знаком отличающийся от другого минора той же матрицы (если содержит только одну из переставляемых строк), или вообще не изменится.

Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столбцов доказывается аналогично.

Поиск по сайту: