Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая . Они могут быть

1) параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Пусть : и : . Тогда – нормальный вектор плоскости, – направляющий вектор прямой.

Если плоскость и прямая параллельны или прямая целиком лежит в плоскости , то векторы и – перпендикулярны. Следовательно , или .

Если данные условия не выполняются, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Если l. В этом случае и будут параллельны, т.е. .

Пусть прямая лежит в плоскости . Тогда любая точка прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В частности, , где – некоторая точка прямой . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, => .

Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны выполняться два условия: и ;

если прямая параллельна плоскости, то и ,

где – точка прямой .

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .