Критерий линейно зависимости свободных векторов

Векторы , , , линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Необходимость. Пусть векторы , , , – линейно зависимы. Тогда по определению существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что . Пусть, например, . Тогда

, ⇒ .

2) Достаточность. Пусть один из векторов , , , линейно выражается через оставшиеся. Например, пусть

. ⇒ .

Следовательно, векторы , , , – линейно зависимы

Определение базиса:

Векторы , , , образуют базис в линейном пространстве если выполняются два условия:

1) , , , – линейно независимы;

2) , , , , – линейно зависимы для любого вектора из .

Поиск по сайту: