АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение линейной зависимости и независимости

Читайте также:
  1. Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
  2. I. Определение
  3. I. Определение
  4. I. Определение основной и дополнительной зарплаты работников ведется с учетом рабочих, предусмотренных технологической картой.
  5. I. Определение проблемы и целей исследования
  6. I. Определение ранга матрицы
  7. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  8. III. Определение оптимального уровня денежных средств.
  9. V.2. Правовые категории лиц в зависимости от status libertatis
  10. V.3. Правовые категории лиц в зависимости от status civitatis
  11. V.4. Правовые категории лиц в зависимости от status familiae
  12. VII. Комплекс противоэпидемических мероприятий в зависимости от токсигенности (эпидемической значимости) выделенных холерных вибрионов O1 и О139 серогрупп

Пусть – линейное пространство над ℝ(ℂ), , , , .

Тогда говорят, что векторы , , , линейно зависимы, если существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация равна нулевому элементу линейного пространства .

Если же равенство возможно только при условии , то векторы , , , называют линейно независимыми

Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства

Векторы , , , линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся.

1) Необходимость. Пусть векторы , , , – линейно зависимы. Тогда по определению существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что . Пусть, например, . Тогда

, ⇒ .

2) Достаточность. Пусть один из векторов , , , линейно выражается через оставшиеся. Например, пусть

, ⇒ .

Следовательно, векторы , , , – линейно зависимы.

Понятия базиса и размерности линейного пространства

Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства.

Если в линейном пространстве существует базис из векторов, то пространство называют конечномерным, а называют размерностью линейного пространства (пишут: ).

Если в линейном пространстве для любого натурального можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: ).


 

ТЕОРЕМА. (Связь между координатами вектора в разных базисах).

Пусть , , , и , , , – два базиса линейного пространства . Причем имеют место равенства:

Если вектор имеет в базисе , , , координаты , в базисе , , , – координаты , то справедливо равенство

,

где , , .

Матрицу называют матрицей перехода от базиса , , , к базису , , , .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию .

Расписывая векторы , , , по базису , , , , получим:

.

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

(1)

Так как по условию , то из (1) получаем:

или в матричном виде .


 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)