Свойства билинейной формы

1) f(x- y, z) = f(x, z) - f(y, z),

2) f(x, y - z) = f(x, y) - f(x, z),

3) f(, y) = 0,

4) f(х, ) = 0.

Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов линейного пространства

f(x, y) = f(у, х).

Билинейная форма называется кососимметричной, если для любых векторов линейного пространства

f(x, y) = - f(у, х).

Пример. Пусть А – квадратная матрица порядка n, а e _1, e ₂, …, e_n – базис линейного пространства V/K, x = , y = . Тогда f(x, y) = – билинейная форма, где – элементы матрицы А.

Если f(x, y) – билинейная форма, e _1, e ₂, …, e_n – базис линейного пространства V/K, x = , y = , то f(x, y) = , где = . Обозначим через Х столбец из координат вектора х, а через Y – столбец из координат вектора у и пусть

А = .

Квадратная матрица А называется матрицей билинейной формы f(x, y). Билинейную форму можно записать в матричном виде:

f(x, y) = Х^ТАY.

Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов линейного пространства

f(x, y) = f(у, х).

Билинейная форма называется кососимметричной, если для любых векторов линейного пространства

f(x, y) = - f(у, х).

Теорема. Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе симметрична.

Доказательство. Если билинейная форма f(x, y) симметрична, то = для элементов любого базиса, а это и означает, что матрица А симметрична.

Пусть матрица А билинейной формы f(x, y) в базисе e _1, e ₂, …, e_n симметрична, f(x, y) = Х^ТАY, f(у, х) = Y^ТАХ. Тогда f(x, y) = Х^ТАY = (Х^ТАY)^Т = Y^ТА^Т(Х^Т)^Т) = Y^ТАХ. Равенство Х^ТАY = (Х^ТАY)^Т следует из того, что матрица Х^ТАY первого порядка, проще говоря – элемент линейного пространства. ■

Матрица А называется кососимметричной, если А^Т = -А. Нетрудно доказать, что билинейная форма кососимметричная тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе кососимметричная.

Теорема. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной.

Доказательство. Длябилинейной формы f(x, y) рассмотрим билинейные формы

, .

Очевидно, что первая из них симметричная, вторая – кососимметричная, а в сумме они дают форму f(x, y). ■

Длябилинейной формы f(x, y) и векторов u _1, u ₂, …, u_n матрицей Грама называется матрица

Г(u _1, u ₂, …, u_n) = .

Теорема. Если векторы u _1, u ₂, …, u_n линейно зависимы, то матрица Грамма вырожденная.

Доказательство. Пусть – нетривиальная линейная зависимость векторов u _1, u ₂, …, u_n. Тогда линейная комбинация строк матрицы Грамма с коэффициентами – нулевая стока, а так как среди коэффициентов есть отличные от нуля, то строки линейно зависимы. ■

Пример. Пусть e _1, e ₂, e₃ – базис трехмерного пространства V,

x = , y = , Х = (х _1, х ₂, х ₃)^Т, Y = (y _1, y ₂, y ₃)^Т; A = .

Для билинейной формы f(x, y) = -x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ = X^TAY матрица А – матрица Грамма системы векторов e _1, e ₂, e₃. Векторы линейно независимы, а матрица Грамма вырождена. Этот пример показывает, что утверждение обратной теоремы для только что доказанной неверно.

Квадратичной формой называется функция f(x, х) одного векторного аргумента х, которая получается из симметричной билинейной формы f(x, y) при х = у. Легко видеть, что это определение вполне согласуется с тем, которым мы пользовались в предыдущих параграфах.

Задача. Найдите матрицу билинейной формы и запишите соответствующую ей квадратичную форму

f(x, y) =

Решение.

Матрица билинейной формы:

.

Квадратичная форма: f(x, х) = .

Поиск по сайту: