АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Корневые векторы

Читайте также:
  1. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  2. Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
  3. Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).
  4. Билет18 Векторы линейные операции над ними, симметрические матрицы и их характеристические числа и собственные векторы.
  5. Векторы и операции над ними
  6. Векторы и ориентиры современной культурологии
  7. Векторы и скаляры
  8. ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА ПРИ ВРАЩЕНИИ
  9. Векторы на плоскости
  10. Векторы системы ограничений ЗЛП
  11. Векторы, директрисы гиперболы.
  12. Векторы, основные определения

 

Пусть r – собственное значение линейного оператора j, действующего в линейном пространстве V/K, e –тождественный линейный оператор, т.е. e(а) = а " а Î V. Вектор с называется корневым вектором линейного оператора j, принадлежащим собственному значению r, если существует натуральное число s, для которого

(j - re) sс = q.(1)

Из этого условия следует, что (j - re) tс = qдля любого натурального числа t > s. Наименьшее натуральное число s, для которого выполнено условие (1) называется высотой корневого вектора с. Высотой нулевого вектора считаем нуль. Ненулевой собственный вектор – это корневой вектор высоты 1, т.е. корневой вектор – это обобщение понятия собственного вектора.

 

Теорема. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, различны.

Доказательство. Пусть r1и r2 – два разных собственных значения линейного оператора j, с – принадлежащий им общий ненулевой корневой вектор:

(j - r1e) nc = q, (j - r2e) mc = q.

Так как r1 ¹ r2,то многочлены (х - r1) n и (х - r2) m взаимно простые и по теореме о линейном представлении НОД существуют многочлены u (x) и v (x) из K [ x ],для которых

u (x) (х - r1) n + v (x) (х - r2) m = 1.

Отсюда

u (j) (j - r1e) n + v (j) (j - r2e) m = e Þ

Þ с = e(с) = u (j) (j - r1e) nс + v (j) (j - r2e) mс = u (j)q + v (j)q = q.

Получили противоречие с тем, что с – ненулевой вектор. ■

 

Теорема. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть r1,...,r m – различные собственные значения линейного оператора j; с 1 ,..., сm – ненулевые корневые векторы, принадлежащие этим собственным значениям; h 1,..., hm - их высоты соответственно.

Методом полной математической индукции по числу векторов m докажем линейную независимость векторов с 1 ,..., сm. При m =1утверждение верно, так как один ненулевой вектор образует линейно независимую систему. Предположим, что утверждение верно при m = k. Пусть m= k +1и l1 с 1 +... + l kck + l k +1 ck +1= q.Применим к обеим частям равенства линейный оператор (j - r k +1e) .Получим

l1(j - r k +1e) с 1 +... + l k (j - r k +1e) ck = q.

По предыдущей теореме векторы

(j - r k +1e) с 1,..., (j - r k +1e) сk

ненулевые, причем они являются корневыми векторами, принадлежащими различным собственным значениямr1,...,r k .Проверим, к примеру, что первый из них принадлежит первому собственному значению.

(j - r1e) ((j - r k +1e) с 1) = (j - r k +1e) ((j - r1e) с 1) =

= (j - r k +1e) q = q.

Заметим, что композиция отображений некоммутативна, но многочлены от одного и того же отображения перестановочны. Чем мы и воспользовались при проведении данных выкладок. По гипотезе индукции l1 = 0,..., l k = 0 Þ l k +1 ck +1 = q Þ l k +1 = q.Векторы с 1,..., сk +1 линейно независимы. ■


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)