 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Теорема Лагранжа
Теорема. Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к виду, в котором коэффициент при квадрате первой переменной отличен от нуля.
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму 
где 
Если а 11 
0, то утверждение доказано. Если а 11 = 0, но, скажем а 22 0, то изменим нумерацию неизвестных:
x 1 = y 2, x 2 = y 1, x 3 = y 3, … xn = yn.
Матрица этого линейного преобразования имеет вид:
,
невырожденная, так ее определитель равен -1. В преобразованной квадратичной форме коэффициент при у 
отличен от нуля.
Пусть теперь коэффициенты при квадратах всех переменных равны нулю, но а 12 0. Тогда невырожденное линейное преобразование
приводит квадратичную форму к виду, в котором коэффициент при у отличен от нуля. Если же коэффициенты при квадратах всех переменных равны нулю и а 12 = 0, но 
0, то изменив нумерацию переменных, сведем задачу к предыдущему случаю. ■
Квадратичная форма имеет канонический вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, т. е. 
.
Теорема. (Лагранжа). Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду.
Доказательство. С помощью невырожденного линейного преобразования приведем квадратичную форму f к виду, в котором а 11 0. Все слагаемые, содержащие х 1, соберем в одну скобку и дополним эту скобку до полного квадрата, получим
,
где оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму g(x 2, …, xn) от неизвестных х 2, …, хn. Невырожденное линейное преобразование неизвестных
приводит квадратичную форму к виду
.
Повторив рассуждения, с учетом того, что последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований вновь невырожденное линейное преобразование, получим утверждение теоремы. ■
Пример. Приведите с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных к каноническому виду квадратичную форму f = 
.
Линейное преобразование 
приводит квадратичную форму к виду 
А линейное преобразование 
приводит к виду 
. Найдем сквозное линейное преобразование 
. Оно невырожденное, так как определитель матрицы линейного преобразования
равен – 2, то оно невырожденное.
Ответ: невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к каноническому виду
Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, а квадраты переменных входят с коэффициентами 1 или -1 или совсем не входят. После изменения нумерации переменных нормальный вид можно переписать так: вначале идут коэффициенты 1, затем -1, а затем нули,
.
Теорема. Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к нормальному виду.
Доказательство. Ограничимся доказательством возможности преобразования канонического вида в нормальный вид с помощью невырожденного линейного преобразования:
, если ai > 0; 
, если ai < 0; 
, если ai = 0. ■
Поиск по сайту: