 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Свойства сопряжения
1) 
;
2) 
3) 
; 
;
4) 
5) 
;
6) если линейный оператор невырожден, то 
;
7) 
для любого целого неотрицательного m.
В силу свойства один линейные операторы 
и 
сопряжены друг другу. Свойство 3 в комплексном евклидовом пространстве приобретает вид 
.
Теорема. Если А – матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе, то 
– матрица линейного оператора в этом же базисе.
Доказательство. Пусть 
Тогда 
. С другой стороны 
. Отсюда, aij = bji для всех i, j;
1 
i, j n. ■
Если = , то линейный оператор называется самосопряженным.
Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе симметрична.
Доказательство. = 
. ■
Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе симметрична, то линейный оператор самосопряженный.
Доказательство. Дано:
На базисных векторах линейный оператор ведет себя как самосопряженный. Пусть 
С другой стороны 
. Правые части равны, поэтому равны и левые части, следовательно, (
для любых векторов а и b из Е. Это означает, что – самосопряженный линейный оператор. ■
Теорема. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть 
. Тогда
Правые части этих равенств равны, так как линейный оператор самосопряжен, поэтому равны и левые, т.е. 
ввиду того, что 
■
Теорема. Корни характеристического многочлена симметрической матрицы с действительными коэффициентами действительны.
Доказательство. Пусть 
– корень характеристического многочлена матрицы А с действительными коэффициентами. Тогда существует ненулевое решение 
однородной системы линейных уравнений с матрицей 
, т.е. имеем систему равенств
,
где 
. После умножения каждого из этих равенств соответственно на 
получим 
или после суммирования всех равенств 
. В этом равенстве перейдем к сопряженным величинам 
. В силу симметричности матрицы А левые части двух последних равенств равны, поэтому равны и правые части, поэтому 
. ■
Теорема. Для любой симметрической матрицы A с действительными элементами найдется ортогональная матрица Q, для которой матрица Q -1 AQ диагональная.
Доказательство проведем методом полной математической индукции по порядку n матрицы А. Матрицу А рассматриваем как матрицу линейного оператора в некотором ортонормированном базисе n- мерного евклидового пространств. Пусть с 1 – собственный вектор линейного оператора , принадлежащий собственному значению . Он существует, так как все характеристические корни матрицы А действительны. Считаем, что вектор с 1 нормирован и включим его в ортонормированный базис с 1, с 2, …, сn евклидова пространства. Подпространство, натянутое на векторы с 2, …, сn, инвариантно относительно и по гипотезе индукции в нем существует базис, в котором матрица линейного оператора, индуцированного линейным оператором , диагональна. Тогда матрица линейного оператора в базисе с 1, с 2, …, сn диагональна. Матрица Q перехода от первоначального базиса к базису с 1, с 2, …, сn искомая. ■
Поиск по сайту: