АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональный линейный оператор. Если , то будем говорить, что линейный оператор сохраняет скалярное произведение векторов а и b, а если

Читайте также:
  1. XIV. ОПЕРАТОРЫ ЯЗЫКА ПАСКАЛЬ
  2. Б) Непосредственный руководитель (линейный менеджер).
  3. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  4. Билет 1. Понятие туроператорской деятельности.
  5. Билет 11. Договор между инициативным и рецептивным туроператорами.
  6. Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису
  7. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  8. Билет 15. Договор комиссии между туроператором и турагентом.
  9. Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе
  10. Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
  11. Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
  12. Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.

 

Если , то будем говорить, что линейный оператор сохраняет скалярное произведение векторов а и b, а если , то будем говорить, что линейный оператор сохраняет скалярный квадрат вектора а. Линейный оператор называется ортогональным, если сохраняет скалярный квадрат любого вектора из евклидова пространства.

 

Теорема. Линейный оператор ортогонален тогда и только тогда, когда сохраняет скалярное произведение для любой пары векторов евклидова пространства.

Доказательство. Дано: . Тогда

.

С другой стороны,

■

 

Теорема. Матрица ортогонального линейного оператора в ортонормированном базисе ортогональна.

Доказательство. Пусть – ортонормированный базис Е. Каждый элемент можно записать в виде линейной комбинации векторов базиса

С одной стороны в силу того, что линейный оператор ортогональный и базис ортонормированный. С другой стороны, если это же скалярное произведение запишем в координатной форме, то получим , а это означает, что матрица ортогональна. ■

 

Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе ортогональна, то линейный оператор ортогонален.

Доказательство. Дано:

На базисных векторах линейный оператор ведет себя как ортогональный. Следовательно, ( для любых векторов а и b из Е. Это означает, что – ортогональный линейный оператор. ■

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)