|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Собственные векторы и собственные значения
Если существует ненулевой вектор с линейного пространства V/K, для которого
Теорема. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям линейного оператора Доказательство проведем методом полной математической индукции по числу собственных значений. Пусть
а умножив на
После вычитания второго из полученных равенств из первого, получим
По гипотезе индукции векторы x 2, ..., xn линейно независимы, поэтому
Если А – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица того же порядка, то
Теорема. Собственными значениями линейного оператора являются корни его характеристического многочлена, лежащие в поле K, и только они. Доказательство. Пусть Тогда Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными x 1, ..., xn имеет ненулевое решение. Поэтому ее определитель равен нулю Нетрудно провести все рассуждения в обратном направлении: если
Набор корней характеристического многочлена матрицы линейного оператора называется спектром линейного оператора, причем каждый корень берется с той кратностью, какую он имеет в характеристическом многочлене. Линейный оператор имеет простой спектр, если все его характеристические корни принадлежат основному полю и различны. Для линейного оператора с простым спектром существует базис, в котором матрица линейного оператора диагональная. Подпространство L линейного пространства V/ K называется инвариантным относительно линейного оператора Пример. Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = Составим характеристическую матрицу А - Так как ее определитель равен Ранг матрицы системы равен 1, поэтому система равносильна системе из одного уравнения
Для нахождения собственных векторов, принадлежащих собственному значению 6 рассмотрим матричное уравнение (А – 6Е) Х = Ранг матрицы системы равен 2, поэтому система равносильна системе из двух уравнений Фундаментальная система состоит из одного решения (-
Пример. Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = а) над полем вещественных чисел; б) над полем комплексных чисел. а) Определитель матрицы (А - Фундаментальная система решений системы (1, 1, 1). Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению б) Характеристическое уравнение над комплексных чисел имеет три корня Для С помощью элементарных преобразований получим эквивалентную систему: Фундаментальная система решений состоит из одного решения:
Таким образом, все собственные векторы, принадлежащие собственному значению
Аналогично получим, что все собственные векторы, принадлежащие собственному значению
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |