Единственность канонической формы Жордана

Теорема. Матрицы линейного оператора в двух разных канонических базисах составлены из одних и тех же клеток и отличаются лишь порядком расположения клеток.

Доказательство. Возьмем два канонических базиса линейного пространства для линейного оператора j. Суммы порядков клеток Жордана матрицы линейного оператора для его фиксированного собственного значения равны кратности этого собственного значения как корня характеристического многочлена линейного оператора.

Поэтому она одна и та же для матриц линейного оператора в разных канонических базисах (так как матрицы линейного оператора в разных базисах подобны, характеристические многочлены подобных матриц равны и многочлены представляются в виде произведения неприводимых множителей единственным образом). Тем самым доказательство теоремы сводится к доказательству утверждения в корневом пространстве.

Фиксируем произвольное собственное значение линейного оператора и пусть корневое пространство представимо в виде прямой суммы циклических подпространств двумя способами

Нам надо доказать, что r = s, k_i = l_i. Без ограничения общности можно считать, что k ₁ ³ k ₂³... ³ k_s, l ₁³ l ₂ ³... ³ l_r. Предположим, что k ₁= l ₁,..., , k_j > l_j; .Тогда

= (l ₁ – l_j) +... + (l_{j -1} – l_j) = k ₁ – l_{j ) +... +} (k_{j –1} – l_j)

(так как k ₁ = l ₁,..., k_j –₁ = l_j –₁) Þ (k_j – l_j) +... = 0.

В сумме (k_j – l_j) +... все слагаемые или равны нулю или положительны. Получили противоречие с тем, что она должна равняться нулю. Продолжив рассуждения аналогичным образом, получим k_i = l_i, r = s.

Поиск по сайту: