Ядро и образ линейного оператора. Ядром линейного оператора называется множество всех элементов линейного пространства, которые линейный оператор отображает в нулевой вектор

Ядром линейного оператора называется множество всех элементов линейного пространства, которые линейный оператор отображает в нулевой вектор, т.е.

.

Ядро не пусто, так как содержит нулевой вектор. Ясно, что ядро – подпространство линейного пространства. Размерность этого подпространства называют дефектом линейного оператора.

Образом линейного оператора называется множество всех элементов у из V, для которых существует вектор х такой, что , т.е.

.

Образ не пуст, так как содержит нулевой вектор. Ясно, что образ – подпространство линейного пространства. Размерность этого подпространства называют рангом линейного оператора.

Теорема. Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора равна размерности линейного пространства.

Доказательство. Пусть – базис , a ₁, …,a_s – базис Тогда Следовательно, можно записать

По определению в линейном пространстве существуют элементы b ₁,…, b_r, для которых . Отсюда,

a ₁,…, a_s,b ₁,…, b_r – система образующих линейного пространства.

Докажем линейную независимость этих векторов. Пусть

Подействуем нашим линейным оператором на обе части равенства. Получим

Система образующих a ₁, …, a_s, b ₁, …, b_r линейно независима, т.е. образует базис линейного пространства V/ K., поэтому s + r = n. ■

Поиск по сайту: