Корневое подпространство

Определение. Подпространство линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора j, если линейный оператор j элементы подпространства отображает в элементы этого же подпространства.

Теорема. Множество всех корневых векторов линейного пространства V/K, принадлежащих одному собственному значению линейного оператора j,образует подпространство линейного пространства V, инвариантное относительно линейного оператора j.

Доказательство. Для доказательства первой части теоремы достаточно проверить все аксиомы линейного пространства.

Если (j - re) ^hc = q, то (j - re) ^h (j с) = j((j - re) ^hc) = j(q) = q,т.е. если с – корневой вектор, то и j с – тоже корневой вектор, принадлежащий тому же собственному значению. ■

Обозначим через множество всех корневых векторов линейного пространства V/K, принадлежащих собственному значению r линейного оператора j. – корневоеподпространство, принадлежащее собственному значению r линейного оператора j.

Теорема. Пусть r₁,...,r _m – все попарно различные собственные значения линейного оператора j, действующего в линейном пространстве V/K Тогда линейное пространство V есть прямая сумма корневых подпространств:

V = Å... Å (2)

Доказательство. Так как r₁,...,r _m – все различные собственные значения линейного оператора j,то его характеристический многочлен имеет вид:

c(х) = (х - r₁) ... (x - r _m)

и многочлены

y₁(х) = (x - r₂) (x - r₃) ... (x - r _m) ,

y₂(х) = (x - r₁) (x - r₃) ... (x - r _m) ,

y _m (х) = (x - r₁) (x - r _m -₂) (x - r _m)

взаимно простые. По теореме о линейном представлении НОД существуют многочлены v ₁(x),..., v_m (x) из K[ x ],для которых

y₁(x) v ₁(x) +... + y _m (x)v _m (x) = 1 или y₁(j) v ₁(j) +... +y _m (j)v _m (j) = e.

Для любого элемента a из линейного пространства V получим

y₁(j) v ₁(j) a + + y _m (j) v_m (j) a = a.

Введем обозначения:

y₁(j) v ₁(j) a = a ₁, , y _m (j) v_m (j) a = a_m.

Тогда a = a ₁ +... +a_m. Так как (j - r _i) y _i (j) = c(j),а по теореме Гамильтона-Кэли линейный оператор c(j) – нулевой, то

(j - r _i e) a_i = q,

т.е. , 1 £ i £ m ÞV Í +... + Þ

Þ V = +... + .

Предположим, что y ₁ +... +y_m = q, y_i Î , 1 £ i £ m. Тогда у ₁= q,..., y_m = q.В противном случае получаем противоречие с тем, что ненулевые векторы y ₁, , y_m линейно независимы. Из единственности представления нулевого вектора в виде суммы элементов из подпространств следует, что сумма прямая. ■

Замечание. Из доказательства следует, что если

c(х) = (х - r₁) ... (x - r _m) ,

то

V = Ker(j -r₁e) Å Ker(j -r₂e) Å Å Ker(j -r _m e) .

Поиск по сайту: