Упражнения. 1) Докажите, что линейный оператор невырожденный тогда и только тогда, когда не имеет собственного значения нуль

1) Докажите, что линейный оператор невырожденный тогда и только тогда, когда не имеет собственного значения нуль.

2) Докажите, что если – невырожденный линейный оператор, то и имеют одни и те же собственные векторы.

3) Пусть и , . Докажите, что х – собственный вектор и линейного оператора

4) Оператор называется нильпотентным, если в некоторой степени равен нулевому. Докажите, что нильпотентный линейный оператор не имеет отличных от нуля собственных значений.

5) Найдите собственные векторы линейного оператора дифференцирования на пространстве, натянутом на cos t и sin t.

6) Докажите, что множество всех собственных векторов линейного оператора , принадлежащих одному и тому же собственному значению, если его пополнить нулевым вектором, является подпространством линейного пространства. Оно называется собственным подпространством линейного оператора , соответствующим этому собственному значению.

7) Докажите, что сумма собственных подпространств прямая.

8) Докажите, что матрица линейного оператора в базисе диагональная тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами этого линейного оператора.

9) Докажите, что если все собственные значения линейного оператора различны и принадлежат полю K, то существует базис, в котором матрица этого линейного оператора диагональная.

10) Докажите, что и – инвариантные подпространства.

11) Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

А = .

Ответ. Собственные векторы, принадлежащие собственному значению = = = = 3, образуют двумерное пространство с базисом (1, 0, 0, -1) и (0, 0, 1, 0) (выбор базиса неоднозначен).

Поиск по сайту: