Полиномы Чебышева-Лагерра

Если взять в качестве производящей функцию , разложить в ряд Тейлора , то можно получить так же, как и в случае с полиномами Лежандра, выражение

,

причем Это полиномы Чебышева-Лагерра.

Рекуррентные соотношения получаются так же, как и в случае с полиномами Лежандра, и имеют вид:

Эти полиномы являются собственными функциями следующей краевой задачи Штурма-Лиувилля.

Найти те значения , при которых уравнение

имеет нетривиальное решение , ограниченное при и возрастающее при не быстрее, чем конечная степень переменной .

Оказывается, что Система функций является ортогональной с весом :

Итак, .

В приложениях широко используются и так называемые обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра

При этом и т. д. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра определяются с помощью функции

Функции являются собственными функциями следующей ЗШЛ. Найти те значения , при которых уравнение

или в другом виде

имеет в области нетривиальное решение, ограниченное при и возрастающее при не быстрее, чем конечная степень

Имеет место быть соотношение

Здесь весовая функция , – гамма-функция.

Полиномами Чебышева-Лагерра соответствуют ортогональные нормированные функции с весовой функцией

,

где , которые удовлетворяют уравнению

при условии .

Поиск по сайту: