Объемный потенциал

п.1. Из курса общей физики известно, что потенциал u (M) электростатического поля, создаваемого точечным электрическим зарядом величины e, расположенным в точке трехмерного пространства, определяется в точке М выражением (это определение потенциала)

Замечание. Потенциал (или потенциальная функция) электростатического поля – это такая функция, которая определяет силовое поле выражением

Если точечные заряды e ₁, e ₂, …, e_n расположены соответственно в точках Р ₁, Р ₂, …, Р_n, то потенциал u (M) в точке М определяют по формуле

(1)

Пусть – плотность распределения зарядов в области D (заряд/объем). В малом объеме заключен заряд величиной Тогда потенциал поля, созданного зарядами, расположенными непрерывно в области D,

(2)

Это объемный потенциал Ньютона. В двухмерном случае имеем «плоский» потенциал

(3)

При Р = М имеем особенность. Таким образом, потенциал является несобственным интегралом.

п.2. Рассмотрим интеграл общего вида

(4)

где точка играет роль параметра, т. е. выражение (4) есть интеграл по параметру.

Определение. Интеграл (4) называют равномерно сходящимся в окрестности точки , если для можно указать такое число , что 1) для всякой области , содержащей точку , с диаметром, меньшим , и 2) для всех точек для которых расстояние , выполнится неравенство

Равномерность – значит точка М играет роль параметра для несобственного интеграла (4).

Теорема. Несобственный интеграл (4), равномерно сходящийся в окрестности точки М ₀, непрерывен в этой точке.

Доказательство теоремы приводится в курсе математического анализа, в разделе "Несобственные интегралы, зависящие от параметра".

Свойства объемного потенциала. Пусть Тогда

1. Объемный потенциал определен и непрерывен всюду.

Это следует из теоремы.

2. Объемный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки М.

Доказательство. Если то свойство очевидно. Если , то достаточно доказать равномерную сходимость в окрестности точки М ₀ интегралов от производных

Здесь Рассмотрим первый интеграл. Имеем

,

где – шар радиуса с центром в точке Перейдем в последнем интеграле к сферическим координатам, будем иметь

Чтобы выполнялось неравенство достаточно взять Свойство доказано.

4. В точках области D объемный потенциал удовлетворяет уравнению

Доказательство. Согласно определению функции Грина краевой задачи эллиптического типа и ее представления в виде

в 3D-случае,

в 2D-случае, где получим из формулы для потенциала

после применения оператора Лапласа:

5. Если D – конечная область и то при потенциал

Поиск по сайту: