|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Сферические функцииПусть требуется решить краевую задачу для уравнения Лапласа , записанного в сферических координатах, (1) граничные условия при , . () Применяем метод разделения переменных : . Делим на ненулевое произведение : (2)
Отсюда для функции получаем уравнение Эйлера
для функции – уравнение
с условием периодичности
Особенность дают значения Поэтому выдвигается требование . Ограниченные решения уравнения , дважды непрерывно дифференцируемые, удовлетворяющие условиям , , называются сферическими функциями. Далее решение задачи - ищем методом разделения переменных Подставляем в уравнение : или Отсюда для функции получим уравнение с периодическим граничным условием . Решение имеет вид . Функция определяется из уравнения с условием ограниченности при Замена переменной приводит к уравнению
так как Здесь Уравнение , как показано выше, допускает ограниченное решение лишь при , которое является присоединёнными функциями Лежандра Выпишем теперь сферические функции для различных значений (без коэффициентов ):
Таким образом, число различных функций равно Линейная комбинация этих функций называется сферической гармоникой
где . Можно показать, что система сферических функций ортогональна и полна. Норма , (8) где для . Для переменной имеем уравнение Эйлера Решение ищем в виде , тогда подстановка их в уравнение Эйлера дает , отсюда . Получили, что собственные значения совпадают с собственными значениями ЗШЛ для уравнения Лежандра. Общее решение уравнения Эйлера представимо в виде Используя граничное условие () по переменной получим . Коэффициент , так как наложено условие ограниченности решения при Отсюда имеем . Допустим, что функцию можно разложить в ряд по сферическим функциям . Тогда , коэффициенты двойного ряда вычисляются по формулам Эйлера-Фурье (9) . Общее решение уравнения Лапласа будет иметь вид: для . Кроме сферических функций широкое применение в физике имеют нормированные сферические функции (10) Соответствуют собственным значениям . За доказательством утверждений, принятых здесь, отсылаем к книге А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, раздел "Специальные функции". Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |