Сферические функции

Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения Лапласа , записанного в сферических координатах,

(1)

граничные условия

при , . ()

Применяем метод разделения переменных :

.

Делим на ненулевое произведение :

(2)

Отсюда для функции получаем уравнение Эйлера

для функции – уравнение

с условием периодичности

Особенность дают значения Поэтому выдвигается требование

.

Ограниченные решения уравнения , дважды непрерывно дифференцируемые, удовлетворяющие условиям , , называются сферическими функциями. Далее решение задачи - ищем методом разделения переменных

Подставляем в уравнение :

или

Отсюда для функции получим уравнение

с периодическим граничным условием

.

Решение имеет вид

.

Функция определяется из уравнения

с условием ограниченности при

Замена переменной приводит к уравнению

так как Здесь

Уравнение , как показано выше, допускает ограниченное решение лишь при , которое является присоединёнными функциями Лежандра

Выпишем теперь сферические функции

для различных значений (без коэффициентов ):

Таким образом, число различных функций равно Линейная комбинация этих функций называется сферической гармоникой

где

.

Можно показать, что система сферических функций ортогональна и полна.

Норма

, (8)

где для .

Для переменной имеем уравнение Эйлера

Решение ищем в виде , тогда подстановка их в уравнение Эйлера дает

, отсюда .

Получили, что собственные значения совпадают с собственными значениями ЗШЛ для уравнения Лежандра.

Общее решение уравнения Эйлера представимо в виде Используя граничное условие () по переменной получим .

Коэффициент , так как наложено условие ограниченности решения при

Отсюда имеем . Допустим, что функцию можно разложить в ряд по сферическим функциям . Тогда

,

коэффициенты двойного ряда вычисляются по формулам Эйлера-Фурье

(9)

.

Общее решение уравнения Лапласа будет иметь вид:

для .

Кроме сферических функций широкое применение в физике имеют нормированные сферические функции

(10)

Соответствуют собственным значениям .

За доказательством утверждений, принятых здесь, отсылаем к книге А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, раздел "Специальные функции".

Поиск по сайту: