Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач

Метод разделения переменных, метод функции Грина (метод источников) позволяют записать решение в явном виде только для простейших краевых задач: область в виде прямоугольника, куба, шара, круга и т. п.

Сведение решения уравнения Лапласа (или Пуассона ) к решению специальных интегральных уравнений (потенциалов) дает эффективный прием для численного решения задач для областей произвольной формы.

Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим внутренние краевые задачи для области на плоскости, ограниченной замкнутым контуром С.

1. Найти функцию гармоническую в области ограниченной замкнутым контуром С и удовлетворяющей на контуре С граничным условиям:

а) – задача Дирихле,

б) – задача Неймана.

Рассмотрим задачу Дирихле. Решение следует искать в виде потенциала двойного слоя, т. к. по формулам (10)-(12) §2 условия наложены на функции, как в задаче Дирихле.

Итак, имеем потенциал двойного слоя

При любом выборе функции функция удовлетворяет уравнению Лапласа внутри контура, ибо , и разрывна на контуре С. Неизвестной величиной считаем функцию . Найдем ее из граничных условий

Здесь берется "ВНТ", так как внутренняя задача.

Рис. 22.

Из первой формулы (10), §2 имеем

(5)

Это уравнение следует решать. Упростим его. Пусть точке М ₀ соответствует значение некоторого параметра (длина дуги, полярный угол и т. п.), а точке Р соответствует значение . Пусть параметр – длина дуги кривой , меняющийся в пределах , тогда предыдущее интегральное уравнение можно записать в виде

(6)

где – неизвестная функция, – произвольное фиксированное значение на контуре С.

Ядро интегрального уравнения (6) имеет вид

Уравнение (6) называется интегральным уравнением типа Фредгольма второго рода.

Для внешней задачи будем иметь (см. уравнение (11), §2)

(7)

Задача Неймана. Решение внутренней задачи Неймана ищут в виде потенциала простого слоя (т. к. имеют дело с производными функций). Тогда краевая задача сведется к решению уравнения Фредгольма второго рода, имеющего вид

(8)

где ядро Для внешней краевой задачи будет

(9)

После этого полагают Уравнения (6)-(9) решаются численно. Контур С разбивается на конечное число N частичных дуг. Интеграл заменяется конечной суммой, например, методом прямоугольников. В результате получается система линейных алгебраических уравнений, содержащая N уравнений относительно неизвестных Если решать уравнения Лапласа в области D, то эту область необходимо покрыть сеткой, в узлах которой являются неизвестными величинами. Число алгебраических уравнений в этом случае на порядки больше, чем в случае решения интегральных уравнений.

Поиск по сайту: