Глава 10. Применение преобразования Лапласа к решению задач математической физики

Применение преобразования Лапласа к решению задач математической физики

Основные понятия

Определение. Функцией-оригиналом называется любая комплексная функция вещественного аргумента

удовлетворяющая условиям:

1. функция непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка, кроме, может быть, отдельных точек, в которых она или ее производные терпят разрывы первого рода. Причем на каждом конечном интервале оси таких точек разрыва конечное число;
2. для значений функция
3. функция при возрастает не более показательной функции. То есть найдутся константы такие, что для

(1)

Число называют показателем роста функции .

Определение. Трансформантой Лапласа функции (изображение, преобразование по Лапласу) называется функция комплексной переменной

(2)

где Интеграл сходится для следовательно,

Символическая запись преобразования Лапласа имеет вид

По заданному изображению оригинал восстанавливается в любой точке непрерывности по формуле

(3)

в которой интеграл вычисляется вдоль прямой

Справедливость формулы (3) доказывается в теории аналитических функций.

Поиск по сайту: