Потенциал простого слоя

Пусть заряды (или масса) распределены на поверхности с плотностью , т. е. поверхность S – это совокупность различных зарядов, расположенных рядышком друг с другом, рис. 15.

Рис. 15.

Потенциал поля определяется по формуле

(1)

Пусть выполняется условие а S есть поверхность Ляпунова.

Определение. Поверхность называется поверхностью Ляпунова, если она обладает следующими свойствами:

1. в каждой точке поверхности существует касательная плоскость (гладкость);

2. для каждой точки поверхности существует такая окрестность S*, что всякая прямая, параллельная нормали в этой точке, пересекает S* не более одного раза.

3. Угол удовлетворяет условию где А и – некоторые постоянные, 0< <1, – показатель степени, – расстояние от точки Р до точки Р ₁ по поверхности, см. рисунок 16.

Рис. 16.

Свойство 1. Потенциал простого слоя определен всюду.

Действительно, если то это очевидно. Если , то вспомним теорему из математического анализа: несобственный интеграл по двухмерной поверхности абсолютно сходится, если В нашем случае Следовательно, свойство 1 доказано.

Интеграл является сходящимся. Координаты точки М являются параметрами этого интеграла.

Интеграл является равномерно сходящимся в точке М ₀, если для что для где – область на поверхности S, содержащая точку М ₀ и .

Свойство 2. Потенциал простого слоя всюду непрерывен.

Доказательство. Если рассматриваемая точка то свойство очевидно. Если , то достаточно доказать равномерную сходимость интеграла (1) в окрестности произвольной точки М ₀.

То есть докажем, что для всех точек из окрестности точки М ₀ и можно указать такое , что

, как только

Здесь есть часть поверхности S, содержащая точку М ₀ и . Поэтому оценим интеграл рис. 17.

Рис. 17.

Введем декартову прямоугольную систему координат, направив ось Oz по нормали к поверхности S в точке М ₀, см. рис. 18.

Пусть М – произвольная точка на поверхности S такая, что Обозначим через проекцию на координатную плоскость . Точка М ₁ – проекция точки М, точка Р ₁ – проекция точки Р (не нарисованы), – круг на с центром в точке М ₁ и радиуса Очевидно, что .

Рис. 18.

Пусть – элемент поверхности S, тогда элемент плоскости будет , где – угол между положительным направлением оси и вектором нормали к поверхности S в точке, принадлежащей (в точке Р).

Пусть тогда

Число выберем настолько малым, чтобы для точек значение . Это возможно в силу свойства 3 поверхности Ляпунова. Тогда

Введем полярную систему координат с полюсом в точке М₁. Тогда

Здесь координаты точек таковы .

Чтобы достаточно взять Свойство доказано.

Свойство 3. Вне несущей заряды поверхности S потенциал простого слоя является гармонической функцией.

Действительно,

так как есть гармоническая функция.

Свойство 4. Если несущая заряды поверхность S ограничена, то при потенциал

Действительно,

где

И при имеем так как

Свойство 5. Производные по нормали потенциала простого слоя имеют разрыв первого рода (конечный скачок) в точках М ₀ поверхности, равный

В плоском случае имеем потенциал и скачок равен

Несущей заряды областью в данном случае является плоская кривая C.

Доказательство. Пусть потенциал простого слоя, S – несущая заряды поверхность, – внешняя нормальная производная, – внутренняя производная.

Так как поверхность может быть незамкнутой, то следует уточнить понятия внутренней и наружной производных. Если из каких-то соображений выбрано положительное направление нормали, то точка, лежащая вне поверхности S со стороны отрицательного направления нормали, считается наружной.

Если поверхность замкнута, то понятия «ВНТ» и «НАР» имеют естественный смысл: внутри S, снаружи от S. А положительным направлением вектора нормали считаем вектор, направленный внутрь поверхности S, см. рисунок 19.

Пусть М ₀ – некоторая точка на поверхности S.

Рис. 19.

Из точки М ₀ проведем ось М ₀z в направлении внутренней нормали в точке М ₀. Рассмотрим в точке М ₀. Обозначим , .

Имеем далее, в точке М :

(1)

То, что легко показать, а именно:

так как, согласно рис. 20, Здесь приняты для координат обозначения и

Рис. 20.

Замечание. Если расстояние от точки к точке взять в виде

то будем иметь

Получается то же самое, что и следовало ожидать.

Проведем из точки Р нормаль и прямую . Угол QPN равен углу между нормалями в точках М ₀ и Р, так как ось параллельна вектору , а последний параллелен прямой Так как то

С другой стороны где – двугранный угол с ребром PQ (доказательство ниже).

Отсюда поэтому

(2)

где – выражение для потенциала двойного слоя с плотностью распределения диполей имеющий разрыв в точках на поверхности S.

Интеграл I (M) непрерывен в точке M ₀, принадлежащей поверхности S. Действительно. Угол и стремятся к нулю при , т. е. Если поверхность S есть поверхность Ляпунова (а мы договорились, что имеем дело с поверхностью Ляпунова), то Значит, при

Это сходящийся интеграл, так как Интеграл I эквивалентен сходящемуся интегралу I ₁. Отсюда следует по признаку сравнения сходимость интеграла I.

Теперь легко показать и его непрерывность в точке М ₀. Утверждение доказано.

Возвратимся к формулам (2). Будем иметь с учетом формул для

(а)

(в)

(с)

Если подставить правую часть формулы (с) в формулы (а) и (в), то получим, заметив, что т. к. что

(3₁)

(3₂)

Отсюда скачок производной в точке М ₀ определится выражением

что и требовалось доказать.

В плоском случае следует заменить и получим формулы (4₁), (4₂)

(4₁)

(4₂)

Докажем теперь, что . Нарисуем вспомогательную схему.

Рис. 21.

По теореме косинусов имеем

,

Отсюда получим

Или

Окончательно

Что и требовалось доказать.

Поиск по сайту: