|
||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Потенциал простого слояПусть заряды (или масса) распределены на поверхности с плотностью , т. е. поверхность S – это совокупность различных зарядов, расположенных рядышком друг с другом, рис. 15.
Рис. 15. Потенциал поля определяется по формуле (1) Пусть выполняется условие а S есть поверхность Ляпунова. Определение. Поверхность называется поверхностью Ляпунова, если она обладает следующими свойствами: 1. в каждой точке поверхности существует касательная плоскость (гладкость); 2. для каждой точки поверхности существует такая окрестность S*, что всякая прямая, параллельная нормали в этой точке, пересекает S* не более одного раза. 3. Угол удовлетворяет условию где А и – некоторые постоянные, 0< <1, – показатель степени, – расстояние от точки Р до точки Р 1 по поверхности, см. рисунок 16.
Рис. 16. Свойство 1. Потенциал простого слоя определен всюду. Действительно, если то это очевидно. Если , то вспомним теорему из математического анализа: несобственный интеграл по двухмерной поверхности абсолютно сходится, если В нашем случае Следовательно, свойство 1 доказано. Интеграл является сходящимся. Координаты точки М являются параметрами этого интеграла. Интеграл является равномерно сходящимся в точке М 0, если для что для где – область на поверхности S, содержащая точку М 0 и . Свойство 2. Потенциал простого слоя всюду непрерывен. Доказательство. Если рассматриваемая точка то свойство очевидно. Если , то достаточно доказать равномерную сходимость интеграла (1) в окрестности произвольной точки М 0. То есть докажем, что для всех точек из окрестности точки М 0 и можно указать такое , что , как только Здесь есть часть поверхности S, содержащая точку М 0 и . Поэтому оценим интеграл рис. 17.
Рис. 17. Введем декартову прямоугольную систему координат, направив ось Oz по нормали к поверхности S в точке М 0, см. рис. 18. Пусть М – произвольная точка на поверхности S такая, что Обозначим через проекцию на координатную плоскость . Точка М 1 – проекция точки М, точка Р 1 – проекция точки Р (не нарисованы), – круг на с центром в точке М 1 и радиуса Очевидно, что .
Рис. 18. Пусть – элемент поверхности S, тогда элемент плоскости будет , где – угол между положительным направлением оси и вектором нормали к поверхности S в точке, принадлежащей (в точке Р). Пусть тогда Число выберем настолько малым, чтобы для точек значение . Это возможно в силу свойства 3 поверхности Ляпунова. Тогда Введем полярную систему координат с полюсом в точке М1. Тогда Здесь координаты точек таковы . Чтобы достаточно взять Свойство доказано. Свойство 3. Вне несущей заряды поверхности S потенциал простого слоя является гармонической функцией. Действительно, так как есть гармоническая функция. Свойство 4. Если несущая заряды поверхность S ограничена, то при потенциал Действительно, где И при имеем так как Свойство 5. Производные по нормали потенциала простого слоя имеют разрыв первого рода (конечный скачок) в точках М 0 поверхности, равный В плоском случае имеем потенциал и скачок равен Несущей заряды областью в данном случае является плоская кривая C. Доказательство. Пусть потенциал простого слоя, S – несущая заряды поверхность, – внешняя нормальная производная, – внутренняя производная. Так как поверхность может быть незамкнутой, то следует уточнить понятия внутренней и наружной производных. Если из каких-то соображений выбрано положительное направление нормали, то точка, лежащая вне поверхности S со стороны отрицательного направления нормали, считается наружной. Если поверхность замкнута, то понятия «ВНТ» и «НАР» имеют естественный смысл: внутри S, снаружи от S. А положительным направлением вектора нормали считаем вектор, направленный внутрь поверхности S, см. рисунок 19. Пусть М 0 – некоторая точка на поверхности S.
Рис. 19.
Из точки М 0 проведем ось М 0z в направлении внутренней нормали в точке М 0. Рассмотрим в точке М 0. Обозначим , . Имеем далее, в точке М : (1) То, что легко показать, а именно: так как, согласно рис. 20, Здесь приняты для координат обозначения и
Рис. 20. Замечание. Если расстояние от точки к точке взять в виде то будем иметь Получается то же самое, что и следовало ожидать. Проведем из точки Р нормаль и прямую . Угол QPN равен углу между нормалями в точках М 0 и Р, так как ось параллельна вектору , а последний параллелен прямой Так как то С другой стороны где – двугранный угол с ребром PQ (доказательство ниже). Отсюда поэтому (2) где – выражение для потенциала двойного слоя с плотностью распределения диполей имеющий разрыв в точках на поверхности S. Интеграл I (M) непрерывен в точке M 0, принадлежащей поверхности S. Действительно. Угол и стремятся к нулю при , т. е. Если поверхность S есть поверхность Ляпунова (а мы договорились, что имеем дело с поверхностью Ляпунова), то Значит, при Это сходящийся интеграл, так как Интеграл I эквивалентен сходящемуся интегралу I 1. Отсюда следует по признаку сравнения сходимость интеграла I. Теперь легко показать и его непрерывность в точке М 0. Утверждение доказано. Возвратимся к формулам (2). Будем иметь с учетом формул для (а) (в) (с) Если подставить правую часть формулы (с) в формулы (а) и (в), то получим, заметив, что т. к. что (31) (32) Отсюда скачок производной в точке М 0 определится выражением что и требовалось доказать. В плоском случае следует заменить и получим формулы (41), (42) (41) (42) Докажем теперь, что . Нарисуем вспомогательную схему.
Рис. 21. По теореме косинусов имеем , Отсюда получим Или
Окончательно Что и требовалось доказать. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.016 сек.) |