Рекуррентные соотношения

Далее – комплексная, – вещественная переменные. Пользуясь формулой (3) можно установить справедливость соотношений

(5)

Из последней формулы следует

()

Если произвести дифференцирование в формулах (5), то получим

(6)

(7)

После вычитания получим

Аналогичные соотношения справедливы и для .

Рассмотрим снова уравнение Бесселя

.

Введем обозначение , тогда получится уравнение

Заменой переменных приходим к уравнению

, (8)

решением которого является . Следовательно, и функция является решением уравнения (8). Формулируются типичные краевые условия для уравнения (8) при :

и условие ограниченности при .

Если обозначить , то являются решением уравнения , либо уравнения , либо .

В этой связи возникает вопрос об ортогональности функций Бесселя на сегменте .

Теорема. Функции Бесселя ортогональны на промежутке с весовой функцией , для всякого : , если . Здесь и корни одного из 3-х уравнений , или , или .

Доказательство. Из уравнения (8) для и , разделив его на , имеем:

Далее умножаем первое уравнение на , второе – на , потом производим вычитание результатов умножения; и интегрируем:

Или

После интегрирования получим:

(9)

Обратимся к формуле (3) . Запишем ее в виде:

Кроме того,

Здесь и – степенные ряды.

С учетом этих двух последних формул (а) и (б) получим, положив и :

При , т. е. при выражение, стоящее справа, обращается в нуль при . Тогда из соотношения (9) следует, если положить , выражение

(10)

И из этого соотношения следует ортогональность при . Здесь суть корни уравнения или .

В случае, если – корни уравнения поступим так.

Имеем для разных : Первое уравнение умножим на , второе умножим на и вычтем друг из друга:

.

И снова в соотношении (10) нуль.

Теорема доказана.

Вычислим квадрат нормы . Воспользуемся формулой (10), переходя к пределу при : .

Имеем неопределенность , раскрываем ее по правилу Лопиталя:

. (11)

Далее из тождества находим при

.

Полученное соотношение подставим в формулу (11):

Отсюда окончательно

. (12)

Корни уравнения при вещественные, простые, кроме, возможно, . Они симметрично расположены относительно и не имеют конечных предельных точек.

Поиск по сайту: