П.3. Уравнение Лежандра

Определим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет . Подставим из формулы в формулу . Имеем в результате , или .

Продифференцируем полученное выражение по переменной x:

.

Подставим сюда из формулы :

.

Окончательно получится

.

Таким образом, полиномы Лежандра являются решением следующей краевой задачи

Штурма-Лиувилля. Найти такие значения , чтобы функции были ненулевыми решениями уравнения

и были ограничены при .

Таковыми значениями, как следует из выше изложенного, являются значения .

Ортогональность полиномов Лежандра следует из того, что уравнение Лежандра является частным случаем краевой задачи Штурма-Лиувилля

.

Общая теория этой задачи утверждает, что .

Согласно теории, изложенной во введении (леммы 1, 2, 3), другое линейно независимое решение уравнения Лежандра будет неограниченным при . Как известно из курса функционального анализа, система ортогональных функций ЗШЛ является замкнутой по свойству ортогональности. То есть нет других не равных нулю непрерывных функций

ортогональных к системе . Поэтому уравнение Лежандра не имеет нетривиальных ограниченных решений при .

Итак, найдены все ограниченные ненулевые решения уравнения Лежандра.

Вычислим норму полиномов Лежандра.

Имеем по определению . Используем формулу дважды.

Сначала получим из неё , осуществив сдвиг индексов :

, .

Тогда

.

Выразим из формулы : . Отсюда следует

Последовательное применение этой формулы даёт

Так как , то .

И тогда окончательно получаем выражение для нормы полиномов Лежандра

, .

Поиск по сайту: