Простейшие их свойства

1. Если u (M) – гармоническая в области функция, то из формулы (4) при k (M) = 1 следует соотношение

. (5)

Действительно, уравнение получается из уравнения если положить q = 0, k = 1, Тогда из уравнения (4) сразу следует выражение (5).

2. Теорема об усреднении.

Значение в центре М ₀ шара D_R радиуса R функции u (M), гармонической в D_R и непрерывной вместе с частными производными первого порядка в S_R – сфера радиуса R, удовлетворяет соотношению

(6)

Действительно. Рассмотрим двусвязную (2 границы) область в виде двух шаров с общим центром М ₀ и с радиусами R₁ < R, рис. 1.

Рис. 1.

По формуле (2) для q (M) = 0 имеем Отсюда получаем

(7)

На сферах и функция расстояния и ее производная постоянны. В силу соотношения (5), имеем Поэтому формула (7) преобразится:

(8)

Так как то получим, применяя к интегралу теорему о среднем, , где .

Устремляя , получим соотношение (6). При точка . Что и требовалось доказать.

3. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях.

Теорема. Функция u (M), гармоническая в конечной области D, ограниченной замкнутой поверхностью S, и непрерывная в достигает своих наибольшего и наименьшего значений на границе области, на S.

Докажем теорему для наибольшего значения. При u = const теорема очевидна.

Пусть в . Введем обозначения:

Н_S – наибольшее значение функции u на границе S,

Н_D – наибольшее значение функции u в области D.

Пусть теорема не выполняется, т. е. Н_D > Н_S в некоторой точке . Введем вспомогательную функцию

(10)

в которой d – диаметр области D (наибольшее расстояние между двумя точками на границе S). Имеем для всех точек области D

. (11)

В точке по определению величины H_D будет выполнены равенства

А во всех точках (на границе области) будет выполнено

т. к. в силу предположения о невыполнении теоремы. Это означает, что непрерывная в функция должна достигать наибольшего значения в некоторой внутренней точке М ₁ области , т. к. Возможно, что и М ₁ = М ₀. Величина H_D не есть наибольшее значение для .

В точке максимума функция многих переменных должна удовлетворять условию т. к. в этой точке ни одна из производных не может быть положительной. С другой стороны

Имеем противоречие и Следовательно H_D = H_S. Теорема доказана.

Заменой u (M) на – u (M) доказательство теоремы о наименьшем значении сводится к доказательству о наибольшем значении.

Следствие. Гармоническая в области D функция не может иметь локальных максимумов и минимумов внутри области D.

Аналогичным способом доказывается принцип максимума для уравнения теплопроводности: пусть функция u (x,y,z,t) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности

внутри ограниченной области { D; 0 < t < T } с краевыми условиями:

– граница области D;

Функции и непрерывны, причем . Пусть u (x,y,z,t) является непрерывной в +

Тогда u (x,y,z,t) принимает наибольшее и наименьшее значения или при t = 0 или на границе S области D.

Поиск по сайту: