|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Простейшие их свойства1. Если u (M) – гармоническая в области функция, то из формулы (4) при k (M) = 1 следует соотношение . (5) Действительно, уравнение получается из уравнения если положить q = 0, k = 1, Тогда из уравнения (4) сразу следует выражение (5). 2. Теорема об усреднении. Значение в центре М 0 шара DR радиуса R функции u (M), гармонической в DR и непрерывной вместе с частными производными первого порядка в SR – сфера радиуса R, удовлетворяет соотношению (6) Действительно. Рассмотрим двусвязную (2 границы) область в виде двух шаров с общим центром М 0 и с радиусами R1 < R, рис. 1.
Рис. 1. По формуле (2) для q (M) = 0 имеем Отсюда получаем (7) На сферах и функция расстояния и ее производная постоянны. В силу соотношения (5), имеем Поэтому формула (7) преобразится: (8) Так как то получим, применяя к интегралу теорему о среднем, , где . Устремляя , получим соотношение (6). При точка . Что и требовалось доказать. 3. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях. Теорема. Функция u (M), гармоническая в конечной области D, ограниченной замкнутой поверхностью S, и непрерывная в достигает своих наибольшего и наименьшего значений на границе области, на S. Докажем теорему для наибольшего значения. При u = const теорема очевидна. Пусть в . Введем обозначения: НS – наибольшее значение функции u на границе S, НD – наибольшее значение функции u в области D. Пусть теорема не выполняется, т. е. НD > НS в некоторой точке . Введем вспомогательную функцию (10) в которой d – диаметр области D (наибольшее расстояние между двумя точками на границе S). Имеем для всех точек области D . (11) В точке по определению величины HD будет выполнены равенства А во всех точках (на границе области) будет выполнено т. к. в силу предположения о невыполнении теоремы. Это означает, что непрерывная в функция должна достигать наибольшего значения в некоторой внутренней точке М 1 области , т. к. Возможно, что и М 1 = М 0. Величина HD не есть наибольшее значение для . В точке максимума функция многих переменных должна удовлетворять условию т. к. в этой точке ни одна из производных не может быть положительной. С другой стороны Имеем противоречие и Следовательно HD = HS. Теорема доказана. Заменой u (M) на – u (M) доказательство теоремы о наименьшем значении сводится к доказательству о наибольшем значении. Следствие. Гармоническая в области D функция не может иметь локальных максимумов и минимумов внутри области D. Аналогичным способом доказывается принцип максимума для уравнения теплопроводности: пусть функция u (x,y,z,t) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности внутри ограниченной области { D; 0 < t < T } с краевыми условиями: – граница области D; Функции и непрерывны, причем . Пусть u (x,y,z,t) является непрерывной в + Тогда u (x,y,z,t) принимает наибольшее и наименьшее значения или при t = 0 или на границе S области D. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |