Цилиндрические функции

Существует несколько классов цилиндрических функций. Мы познакомимся с функциями Бесселя 1-го рода и функцией Неймана (функцией Бесселя 2-го рода).

Пусть дано уравнение Бесселя . Преобразуем его к виду

Заменой приходим к уравнению

. (1)

Одно из частных решений этого уравнения Бессель искал в виде степенного ряда

,

или

.

Подставляем в уравнение (1), но для этого найдем производные:

.

Умножим на : .

Далее имеем

Полученные соотношения подставим в уравнение (1):

Соберем степенной ряд относительно . Имеем

Сокращать на нельзя, ибо исчезнет свойство . Переписываем в виде

Отсюда следует, что коэффициенты этого ряда равны нулю по следующему "правилу":

(*)

Из первого равенства находим , т. к. по предположению

Рассмотрим пока случай, когда . Тогда .

Полагая , т. е. , получим, что .

Далее имеем

.

Так как , то

Если , т. е. нечетно, то с учетом того, что , получим

для .

Это следует из таблицы (*). Если , то

(**)

Пусть , тогда .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда .

По индукции получаем

.

Теперь распорядимся произвольным числом таким образом. Положим .

Будем иметь в этом случае

Произведение в знаменателе расположим так: .

Рассмотрим ,

или .

Так как , то будем иметь

.

Таким образом, все коэффициенты степенного ряда (2) определены, т. е. построено одно из частных решений уравнения Бесселя

(3)

Пользуясь признаком Даламбера, можно показать что ряд (3) сходится всюду, кроме, может быть, точки , функция называется функцией Бесселя порядка первого рода. Полагая в формуле (3), получают функции . Непосредственной подстановкой в уравнение (1) можно убедиться, что это тоже решение уравнения Бесселя. Поскольку уравнение (1) не меняется при замене на , то тоже будет решением уравнения (1).

Если – нецелое число, то и линейно независимы, т. к. при , а . Поэтому для нецелых общее решение уравнения (1) можно записать в виде , где – произвольные постоянные. Если – целое число, т. е. , то . Налицо линейная зависимость.

Действительно,

Что и требовалось доказать.

Построить решение вида уже нельзя. Введена для этих целей в рассмотрение функция Бесселя 2-го рода . Можно проверить, что она удовлетворяет уравнению (1). При имеет место быть неопределенность , поэтому рассматривают при целых выражение .

Справедлива теорема. Функции линейно независимы при любых значениях .

Поиск по сайту: