П.1. Производящая функция полиномов Лежандра

Одним из способов построения полиномов Лежандра является использование производящей функции которая является аналитической по переменной t, т. е. раскладывается в абсолютно сходящийся степенной ряд по этой переменной. Она хорошо изучена в связи с решением уравнения Лапласа .

Степенной ряд для нее имеет вид

.

Это производящая функция для полиномов Лежандра. Определим их.

Положим в выражении , получим

.

Следовательно, из выражения (1) имеем . Положим , получим , т. е. .

Очевидно, что

.

С другой стороны, из теории аналитических функций известно соотношение

,

где С – замкнутый произвольный контур, охватывающий особую точку .

В интеграле произведём замену переменных

.

Далее получим, возводя в квадрат данное выражение (*),

Отсюда следует, что

Рассмотрим выражение , заменив на .

Получим ,

или окончательно Тогда Поэтому получим, что

, и в силу будем иметь

.

Следовательно,

Здесь – любой контур окружающий особую точку .

Можно показать, что поэтому получим

.

Из курса теории функций комплексной переменной (ТФКП) известно, что

Поэтому будем иметь .

Подставляя это выражение в формулу , получим

.

Это есть формула Родрига для определения полинома Лежандра. Очевидно, что .

Поиск по сайту: