I Функция

Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной.

Если каждому значению переменной величины х, соответствует одно конечное значение величины у, то у называется функцией от х, или зависимой переменной, х называется аргументом, или независимой переменной.

Кратко выражается записью: или и т.п.

Совокупность значений х, для которых данная функция определена, называется областью существования, или областью определения функции.

Пример. Определить область существования функции .

Решение:Функция определена, если , Таким образом, область существования функции представляет собой совокупность двух интервалов: и .

Если уравнение может быть однозначно разрешено относительно переменного х, т.е. существует функция , такая, что , то функция , или в стандартных обозначениях , называется обратной по отношению к . Очевидно, что , т.е. функции и являются взаимно обратными.

Пример Для функции определить обратную.

Решение: , или , прологарифмировав, получаем:

Функция называется сложной, если ее аргумент в свою очередь есть функция от другой переменной. Пусть , и , тогда есть сложная функция или функция от функции. Например, , , тогда ; , , тогда .

Функция, заданная уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной. Например, уравнение определяет у как неявную функцию от х.

Способы задания функции:

Если функция задана одной или несколькими формулами, то говорят, что она задана аналитическим способом.

Функцию можно задать также при помощи графика (графический способ) или при помощи таблицы (табличный способ).

Множество точек (х,у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением , называется графиком функции.

Функция у от х называется элементарной, если ее можно задать одной формулой вида для всех х из области ее определения так, что каждое ее значение может быть получено из постоянных чисел и значения независимой переменной при помощи конечного числа элементарных операций.

Основными элементарными функциями называются следующие:

1)степенная функция , где – любое действительное число;

2)показательная функция , ;

3)логарифмическая функция , ;

4)тригонометрическая функция , , , а также , , , .

Свойства функций

Функция называется ограниченной сверху (снизу) в некоторой области значений аргумента, если существует такое число А, что для любого х из этой области. Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Пример:

1) Функция определена на всем множестве действительных чисел, ограничена, т.к. при любых значениях х по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. .

x y	2) Функция в промежутке ограничена снизу, например, числом 1, но не ограничена сверху (см. рис.)   3) Функция на интервале не ограничена, т.е. (см. приложение).

Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области, если для любой пары чисел , , принадлежащей этой области, из следует

.

Если же из следует , то функция называется неубывающей (невозрастающей).