 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Понятие предела
Числовая последовательность – функция, определенная на множестве 
натуральных чисел 
. Если множество значений ограничено – последовательность ограниченная. Такая последовательность может иметь предел. Пределом называют число, если существует точное 
(номер члена последовательности) начиная с которого восполняется неравенство 
, где 
- сколько угодно малое положительное число. Обозначение: 
Рассмотрим простую линейную функцию 
и зададимся вопросом, к какому числу А приближаются значения этой функции, когда значения переменной х приближаются к числу 3. Вычислим соответствующие значения f(x) и представим их в виде таблицы:
| х | 2,0 | 2,5 | 2,9 | 2,99 | 2,999 | 2,9999 |
| f(x) | 4,0 | 5,0 | 5,8 | 5,98 | 5,998 | 5,9998 |
| Х | 4,0 | 3,5 | 3,1 | 3,01 | 3,001 | 3,0001 |
| f(x) | 8,0 | 7,0 | 6,2 | 6,02 | 6,002 | 6,0002 |
Из таблицы видно, что значения функции f(x) приближаются к числу 6, если значения х приближаются к числу 3 как «слева» (по числовой прямой) так и «справа». Символически это записывается так: 
и читается: предел функции 
, когда х стремится к 3 (
), равен 6.
Теперь дадим общее определение предела функции в точке.
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки 
за исключением быть может, самой точки 
.
Определение1: Число А называется пределом функции y = f(x) при 
, если для любого 
найдется 
такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 
, будет выполняться неравенство 
. Кратко это можно записать так: 
Выясним, что представляет собой геометрически понятие предела функции. Раскроем знаки модуля в неравенствах из определения предела функции: 
, 
, 
Аналогично f(x) 
.
Геометрически это означает, что какую бы окрестность точки А на оси OY мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки на оси ОХ, которую функция переводит в окрестность оси OY.
Х
- 
+ 
Дадим также определение предела функции на бесконечности и одностороннего предела.
Определение 2: Функция y=f(x) имеет предел на бесконечности при 
, если для любого М>0 существует такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство f(x)>M (f(x)<-M).
Кратко это можно записать так: 
Определение 3: Число А называется пределом функции y=f(x) при при слева, или левосторонним пределом, если для любого найдется такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 
, будет выполняться неравенство . Кратко это можно записать так: 
Определение 4: Число А называется пределом функции y=f(x) при справа, или правосторонний пределом, если для любого найдется такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 
, будет выполняться неравенство . Кратко это можно записать так: 
Функция имеет предел в некоторой точке, равный некоторому значению, тогда и только тогда, когда существуют и равны этому же значению оба односторонних предела:
Рассмотрим функцию 
, ее предел для любого 
Рассмотрим функцию 
, ее предел для любого 
Пример: найти предел функции 
при 
, т.к. 
, то 
, а 
, т.к. 
, то 
, а 
Таким образом, предел функции при х, стремящемся к нулю, не существует
Поиск по сайту: