|
|||||||
|
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определение функции Грина для краевой задачи эллиптического типап.1. Рассмотрим краевую задачу
с граничным условием
Здесь Функции Это внутренняя краевая задача. Если область D находится с внешней стороны замкнутой поверхности S, то мы имеем внешнюю краевую задачу. Область D – это непрерывное многообразие. Суть метода функции Грина. Сначала ищут решение G (M,P) следующей краевой задачи:
(Р – некоторая произвольно выбранная, но фиксированная точка области D) с граничным условием (однородным)
Искомое решение должно быть непрерывным вместе с частными производными всюду в Решение задачи (3)-(4) называют функцией Грина задачи (1)-(2). Единой функции Грина не существует, для каждой задачи своя функция Грина. Основная теорема. Если функция Грина найдена, то с ее помощью находится решение u (M) краевой задачи (1)-(2). Для нахождения функции Грина применим вторую формулу Грина, положив
Так как
С учетом свойств функции получаем, что
или
Для первой краевой задачи, когда Тогда из формулы (5) следует Для второй краевой задачи И из формулы (5) получаем Для третьей краевой задачи Формула (5) дает в этом случае
Таким образом, решение п.2. Свойство симметрии функции Грина: Доказывается с помощью второй формулы Грина, если положить
В результате применения второй формулы Грина получается, что что и требуется доказать. п.3. Особенность функции Грина. Рассмотрим только случай, когда k (M) = 1, q (M) = 0. Уравнение и краевое условие, которым удовлетворяет функция Грина, является линейными
Здесь Поскольку уравнение линейное, то решение можно представить в виде суммы двух функций, одна из которых содержит особенность вида
где
Для определенности рассмотрим трехмерный случай. Пусть
с учетом того, что
Итак, И так как на сфере Произвольную постоянную можно «отдать» функции
Итак, имеем особенность при
Функцию
Для внешних краевых задач функция Грина определяется аналогично и обладает теми же свойствами. Замечание. Таким образом построенная функция Грина не всегда существует. Так, для второй краевой задачи она не существует. Ибо по построению
Рассмотрим вторую краевую задачу, граничное условие для которой имеет вид Отсюда, в силу соотношения (*), имеем на сфере
т. е.
Для гармонической функции
А у нас, например, на сфере:
Необходимое условие гармоничности Поиск по сайту: |
||||||
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.044 сек.) |