Присоединенные функции Лежандра

Рассмотрим задачу. Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи

при граничных условиях

.

При имеем совпадение с уравнением Лежандра, поэтому считают . Осуществляем замену переменной

,

Подставляем уравнение в уравнение :

.

Продифференцируем следующее уравнение

m раз и положим . В результате получим

.

Так как решением уравнения являются полиномы , то решением уравнения (4) будут функции . Ибо, как было установлено выше, нетривиальное решение уравнения (*) существует лишь при . И отсюда сразу следует, что

,

есть решение уравнения при , а функции

суть собственные функции краевой задачи - при ,

.

Вывод формулы (4). Исходное уравнение имеет вид . Подставим сюда вместе с ее производными. Для этого вычисляем

, или .

Далее имеем

Дополним слагаемым до равенства нулю. Сокращаем на . Получаем:

Или в другом виде

Что и требовалось показать.

Вывод формулы . Продифференцируем уравнение Лежандра m раз. Уравнение Лежандра имеет вид . Осуществим математическую индукцию.

Пусть , т. е. ни разу не дифференцировали, тогда

;

: или

: или и т. д. При пусть справедлива формула, которая вытекает из предыдущей последовательности операции дифференцирования,

.

Осуществим переход от , т. е. продифференцируем ещё раз.

В итоге получим

То есть доказано, что имеет место быть уравнение

Если теперь положить то получим формулу .

Поиск по сайту: